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(2)/x-xy-2y°+5x+ay+6 がx, yの1次式の積となるように,定
2次方程式
4
例 題47
完全平方式
第1章
値を定め、完全平方式で表せ、
数aの値を定め、因数分解せよ.
考え方()の式を完全平方式という、
(1)(与式)=0 の判別式 D=0 ↑ (与式)=(x-α)° を利用する。
(2) xの2次式とみて式変形してみる。
解答
(1) x+2ax+a+6=0 とおいたときの判別式をDとすると、「=0」とおいたとび
D=0 のとき、左辺は完全平方式となる。 末 「方程式が重解をもつ
D
4
左辺は( )°の式に
因数分解される
=(a+2)(a-3)==0 より,
a=-2 のとき, (与式)=x°-4x+4=(x-2)
a=3 のとき,(与式)=x°+6x+9=(x+3)°
(2) xの2次方程式 x°ーxy-2+5x+ay+6=0
の判別式をDとすると, ①の解は、
a=-2, 3
*-(y-5)x-2y?+ay+6=0 より. x=ソー5±、D
2
左辺を整理して,解
の公式を用いる。
回教分解して、したがって,与式は。
( ) C)の形に行て与式)-(xー \,ーソ-5-(D\
ときにし 1ATど式変形できる。
東れでたない
2/xーソ-5-/D
九そ1式の積
ソ-5+VD
ax°+ bx+c=0 の
2つの解がa, Bの
とき,
a(x-a)(x-B)=0
D=(y-5)?-4(-2y°+ay+6)
=y-10y+25+8y?-4ay-24
=9y°-2(2a+5)y+1る変を
の未レたがって,与式がx, yの1次式の積になるのは,
Dが完全平方式のと
根号の中のDがッの完全平方式となるときである.
つまり,9y°-2(2a+5)y+1=0 の判別式を D、と
すると,求める条件は, D:=0 である。
D.
4
き,
VD=(1次式)
=|1次式
一 次はyの2次方程式
とみて考える。
ー (2a+5)°-9·1=0
(2a+5+3)(2a+5-3)=0 より,
a=-4 のとき, (与式)=x°- (y-5)x-2y?-4y+6
a=-4, -1
与式の係数に着目し、
=x°-(y-5)x-2(y-1)(y+3) (与式)
=(x+y+3)(x-2y+2)
=(x+y+p)
人)
a=-1 のとき, (与式)=x°-(y-5)x-2y?-y+6 ×(x-2y+q)
=xー(y-5)x-(y+2)(2y-3)とおいてか、 qを決
=(x+y+2)(x-2y+3)
定してもよい。
