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整数nは、
きの余
転の原
こと
-2
<b
bg
5倍
例題 124 割り算の余りの性質
基本例
bは整数とする。 αを7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。 このとき,
a,
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1)a+26
(2) ab
(3)a^
指針
前ページの基本事項3の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は,
a=7k+3,6=71+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。
=7(7kl+4k+3 +1)+5
したがって 求める余りは
(3) (7k+3) を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。α'=(d2)^ に
着目し,まず,²を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
(4) 割り算の余りの性質 4 α” をmで割った余りは, r” をmで割った余りに等しい
を利用すると, 求める余りは 「32021を7で割った余り」であるが, 32021の計算は不可
能。 このような場合、 まず " をmで割った余りが1となるnを見つけることか
ら始めるのがよい。
CHART 割り算の問題
a=7k+3,6=7l+4 (k, lは整数)と表される。
解答(1)a+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8
=7(k+21+1)+4
したがって、求める余りは
(2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7 (4k+3l)+12
=7(7m²+4m)+4
A=BQ+R が基本
(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り)
5
(3) a²=(7k+3)²=49k² +42k+9=7(7k²+6k+1)+2
よって、a²=7m+2(mは整数)と表されるから
α^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4
7 (8+
(4) a 2021
したがって 求める余りは
(4) (3) より αを7で割った余りが4であるから, αを7
で割った余りは, 4･3を7で割った余り5に等しい。
ゆえに,αを7で割った余りは, 5・3を7で割った余り
5
/p.536 基本事項 1.3
1 に等しい。
a2021=(α6)336.5であるから、求める余りは,1336.5=5
を7で割った余りに等しい。
したがって 求める余りは
別解 割り算の余りの性
を利用した解法。
(1) 2を7で割った余りに
2 (27.0+2) であるか
ら26を7で割った余
りは2･48を7で割っ
た余り1に等しい。
ゆえに α+26 を7で
割った余りは3+1=4
7で割った余りに等し
よって, 求める余りは
(2) abを7で割った余
は3･4=12を7で割っ
余りに等しい。
よって, 求める余りは
(3) αを7で割った余
は3481 を7で割っ
余りに等しい。
よって, 求める余りに
(3)
