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518
解答
看
検討
00000
基本例題 111 倍数の判定法
5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき、□に入る数をすべて求めよ。
11の倍数については, 次の判定法が知られている。
「偶数桁目の数の和」 と 「奇数桁目の数の和」 の差が11の倍数
このことを,6桁の自然数Nについて証明せよ。
指針 (1) 例えば,8の倍数である 4376 は, 43764000+376=4・1000+ 8:47 と表される
1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が
8の倍数であるかどうかに注目する(ただし,000 の場合は0とみなす)。
(2) N=Ak+Bのとき, Nが4の倍数ならば,BはAの倍数 (文字は整数)
Nを11k+Bの形で表したとき, Bが11の倍数であることから証明できそう。 解答
のように, 10の累乗数を11の倍数±1の形で表しながら, 変形していくとよい。
(1) 口に入る数をα (αは整数, 0≦a≦) とする。
下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となる
から 700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(α+1)
2 (a+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数。
よって
α+1=4, 8 すなわち α = 3,7
3, 7
したがって、□に入る数は
(2) N=10°a+10+10°c +10°d + 10e + f とすると
N=(100001−1)a+(9999+1)+(1001-1)c
(99+1)d+(11-1)e+f
=11(9091a+9096+91c+9d+e)
青
+(b+d+f)-(a+c+e)
よって, N11の倍数であるのは、偶数桁目の数の和
acte と, 奇数桁目の数の和b+d+fの差が11の倍
数のときである。
p.516 基本事項
706=8・88+2
例えば,987654122 は、 右の図において、(①+③)-②からい
(987+122)-654=455=7×65 - ･987654122 は 7の倍数。
なお,この判定法は, 103+1=7×143, 10°-1=7×142857,
10°+1=7×142857143, ・であることを利用している。
..…...
0≦a≦9のとき
1≤a+1≤10
1001=7・11・13
は記憶しておくとよい。
-a+¹-c+d-2+)
を問題に合うように変形
した。
いったい
7の倍数の判定法
7の倍数については、次の判定法が知られている。 下の練習 111 (2) 参照。
一の位から左へ3桁ごとに区切り,左から奇数番目の区
画の和から、偶数番目の区画の和を引いた数の倍数
である。
451 987 654122
3桁ごとに区切ると
987654122
①
すか
(2)
基本例題
40
63n が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。
練習 (1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる。
② 111
このような自然数で最大なものを求めよ。
(2)6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき、前の数と後の数の差が7
の倍数であるという。 このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。
112 素因数分解に関する問題
n²
196'441
(2)
いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。
√A" (m は偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから、
の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。
n² n³
196' 441
6
を考える。
がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
n³
P.516さ
63n
(2) 6
mmは自然数)とおいて
ゆえに
V 40
これが有理数となるような最小の自然
n=2・5・7=70
習
$112
3².7n
2³.5
-=m(mは自然数)とおくと
n²
22.32m² 32m²
72
196 2³.72
これが自然数となるのは, mが7の倍数のときであるか
n³
Dっで
よって
441
3
7n
2 V 2.5
(3)
m=7k(kは自然数) とおくと n=2・3･7k... ①
1500
(1)
277m
2³.33.73k³
32.72
0000
3m
n
n² n
10' 18' 45
3 条件
= 2³.3.7k³
素因数分解
3) 63
3) 21
7
63=3²-7
63-3-7, 40=2¹-5
X2-5-7
これが自然数となるもので最小のものは, k=1のとき①よりが最小のとき、
n=42
nも最小となる。
ら ①k=1 を代入して
旦
2!!!
素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。
成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。
って素数の問題は、2通りに素因数分解できれば、指数部分の比較によって方程
式を解き進めることができる。 なお, 1 を素数に含めると, 8=2=12'12.2° のように、
素因数分解の一意性が成り立たなくなるので, 1は素数から除外してある。
問題3･15"=405 を満たす整数m,nの値を求めよ。
[解答 3m・15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34.5であるから3535
指数部分を比較して
m+n=4, n=1
m=3, n=1
が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。
(2) 54000nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。
21 25
=1/12.7=14/12 (有理数)
となる。
4
⑩ 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
0.5
ISD
L2
p.535 EX 78
がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
0.75
0.750
1011101001
10101(2)
224321(5)
317h-4l)
21h-121
