例題251 2つの等差数列の共
→例題IA242
初項1, 公差2の等差数列 {an} と初項 1, 公差3の等差数列 {b,}がある
(1) 数列 {a,} と {bm} の一般項をそれぞれ求めよ。
(2) 数列 {an}と {bn} に共通に含まれる項を小さい方から順に並べてできz
数列 {c}の一般項を求めよ。
Action 等差数列{a.), {6.)の共通項は、 a, = bm として不定方程式を解け
1(1)は,等差数列の一般項の公式に当てはめる。
2|(2)は, a, = bm として!とmの不定方程式をつくる。
3|2の方程式を解き, Cn の一般項を求める。
解法の手順………
解答
an =1+(n-1)·2=D 2n-1
bn =1+ (n-1).3= 3n-2
(2) {an} の第1項と {bn} の第m項が等しいとすると,
2(1-1) = 3(m-1)
1, m は自然数で, 2 と 3は互いに素であるから, 1-1 は3
(1) {am}の一般項は
{b»}の一般項は
4a, = bm
21-1= 3m-2 より
421-1=3m-2 すなわち
21- 3m = -1 を満たす
整数の組1=1, m=1 を
利用して変形する。
の倍数である。
よって,1-1= 3k (kは整数)とおくと
これをDに代入して整理すると
121, m21 より, kは0以上の整数である。
ゆえに,{an} と {bn} に共通に含まれる項は
dsk+1 = 2(3k+1)-13 6k+1 (k= 0, 1, 2, …)
ここで, n=k+1 とおくと n= 1, 2, 3, · …
k=n-1 より
Cn = 6k+1=D6(n-1)+1= 6n-5
1 = 3k+1
m= 2k+1
|3k+121より k20
12k+121 より k20
となり,
4日nとkの対応は,不定
方程式のを解くときに
用いた整数1, mの組に
よって変わる。
