a=2, a2=4, an+2= -an+1 +2an (n≧1) で表される数列{an
がある.
(1) an+2-Qan+1=β(an+1 - Qan) をみたす2 数α, β を求めよ.
(2) an を求めよ.
精講
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t2=pt+g の解をα, β として,次の2つの場合があり
ます.
an+2=(a+β)an+1 -aβam より
I) αキβ のとき
an+2-aan+1=B(an+1-aan)
(1)
= (a + B) an+saẞan
an+2=
与えられた漸化式と係数を比較して、
α+B=-1,aß=-2
(a, B)=(1, 2), (2, 1)
(2)(α,B)=(1,-2)として
an+2an+1=-2(an+1-an)
an+1-an = bn とおくと
bn+1=-26
また, bi=az-a=2
n≧2 のとき,
n-1
an=a1+2(-2)-1
k=1
=2+2. 1-(-2)-1
1-(-2)
123
:.bn=2(-2)^-1
-(4-(-2)-1)
これは, n=1のときも含む.
199
an+2-Ban+1=α(an+1-Ban)
①より, 数列{an+1-aan} は,初項 a2-qa1,公比ßの等比数列を表すので、
an+1-aan=β"-1(a2aai) ...... ①、
同様に,②より, an+1-Ban = an-1 (az-βai) ...... ②
②より,
(B-α)an=β-1 (a2-aa)-α" (a2-Bar)
.. an=
β”-1 (α2-aas) an-1 (a2-βas)
B-a
|実際にはα=1(またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数
の性質を利用します
(別解) (α,B)=(-2, 1) として
an+2+2an+1=an+1+2an
.. an+1+2an=a2+2 よって, a1=2+8
8
In+1-3 = −2 (an−1), a₁-=-=-
[124
8
3
3
したがって, an-0323-1/32(-2)^-
. an= (4-(-2)-1)
8
am
