3aPA+6PB+cPC=0-
三角形ABCの内部に点Pがあり, 等式 6AP+3BP+2CP = 0 をみたす. また, 線分BCを3:2
に内分する点をQ とする. 次の問いに答えよ.
(1) AQをAB と AC を用いて表すと AQ=
(2) APをAB と AC を用いて表すと AP=
AB +
AB +
AC である.
JAC である.
(3)三角形ABCの面積を S,三角形APQの面積をTとするとき,STである.
(国士舘大理工)
aPA+6PB+cPC=0を満たす点Pのとらえ方
すのがよいだろう(そうすると3か所にあったPが1か所になる). このあと,
直線APとBCの交点をRとして, AP=αAB + BACをkAR の形にする
(2)のようにAを始点にして条件式を書き直
C
Q
(2)とRの “位置” がわかる.
例えば
面積比を求めるときは底辺か高さが等しい三角形の組を見つける
右図で △ARQ: △APQ=AR: AP となる(底辺がAR, APで高さが共通).
R
P
AR
AP
(3)は△ARQ= -AAPQ, AABC= △ARQ から求める.
BC
A
B
RQ
解答
3
(1) AQ="AB+AC
(2) 条件式を,Aを始点に書き直すと
6AP+3(AP-AB)+2(AP-AC) = d
11AP=3AB+2AC
よって, AP-AB+AC
A
B
3+2/3
+
(3) AP= (1/2 AB / AC) と書ける。 AR-232 AB+ / AC とおくと,
11 5
=
5
(AB AC の係数の和が1だからRはBC上にあり) Rは線分BCを2:3に内分
する点である.また,AP -AR であるから,
5
=
11
APの延長とBCの交点をR と
して, R を求める. R は BC上の
点だから AB AC の係数の和は
1. この変形については,2の
傍注を参照.
Rは直線AP 上の点で
AP: AR=5:11
よって,
BC
S=△ABC= AARQ
RQ
BC AR
5 11
-△APQ=
T=11T
RQ AP
1 5
03 演習題(解答はp.25)
R
―11
A
B
△ABC,
ARQの底辺をBC,
RQ とみる (高さが共通).
△ARQ,△APQの底辺を AR,
AP とみる (高さが共通).
