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例題
298
(1) bn=
a=8, an+1=
解答
考え方 (1)
(α>β) の値を求めよ.
(2) 数列{an}の一般項an を求めよ.
TA
{bn}が等比数列になるのは, bn+1=rb, (公比r) と表されるときである.そのた
めに, bn+1 を考えて, これを漸化式を利用して α で表してみる.
(2) (1)で導いた {bn} を利用して一般項を求める.
(1) bn+1=
によって定義される数列{an}がある.
an-β とおくと、数列{bn}が等比数列になるような,α, B
an-a
PRERAD
.243
14 (668)
((2)
練習
[298]
****
分数型の漸化式 (2)
3an+2
an+2
=
an+1-β
an+1 - a
mmmm
2-2a
-α=
乗世界である003-4-B=23-28
3-β_3+1
3-43-2
つまり,
2-2β
(3-B)an+2-2B3-Ban 3-B
部分が同じ形
(3-α)an+2-2a 3-a
2-2a
an+
3-B
3-a
になれば,
を
3-a
したがって,数列{bn}が等比数列になるための条件は,公比として {bn} は
等比数列になる.
この場合 α, B は, -x (3-x)=2-2x の2つの解であり,
x2x-2=0 より,
x=2, -1
a>より, α=2,β=-1
an+1 3
において、an-22
よって,
8+0
3
-
に対し下また, b=a1+1 = 8+1
a₁-20-8-2 2
(1) bn=
であり、これより
=
an=
a1=2, an+1=
3an+2
an+2
3an+2
an+2
・B
a
6.4+8
3.4-8
an+B
anta
となり値を求めよ。
・4n-1
3 漸化式と数学的帰納法
=4であるから, (1) より, bn+1=4bn
3x
23), b₂=2.4"-1
より,
3an+2-β(an+2)
3an+2-α(an+2 )
STAD
****
(2) 数列{an}の一般項 αn を求めよ.
漸化式を用いるため
bn+1 を考える.
mm
特性方程式 (p.526
参照)
x=
3x+2
x+2
より、
x2+2x=3x+2
(x-2)(x+1)=0
x=2, -1
と同じ解になる.
2(an+1)
=3.4-1 (an-2)
an=
6.4-1+2
3.4-1-2
6.4" +8
3.4"-8
4an+1 によって定義される数列{an}がある.
2an+3
とおくと,数列{bn}が等比数列になるような, α, B(α>B) の
SENS
525
第8章
p. 566 30
