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関数f(x)=
x
の定積分を利用して、 次の不等式を証明せよ。
1
1
logn >
2
3 4
+ 十 .......+
1
n
ただし, nは2以上の自然数
自然数kに対して,k≦x≦k+1 のとき f(x)≧f(k+1) である。
常にはf(x)=f(k+1) でないから、
が成り立つ。
見え方
1x
k+1
kk+1
証明
自然数んに対して, k≦x≦k+1-
YA
のとき
1
x
1
M
k+1
1
1
常には
=
k+1
でないから
x
Sk+11/1 dx >
Ok
すなわち
S+
x
(x+1 dx > k +1 +
xC
k=1, 2, 3, ......, n-1 として,
□の面積
Ck+1 1
-dx
k+1
|辺々を加えると
第5章
ケミ
0
1 2
3
4x
13
+
14
S² dx + S ³ d x + S ³ dx
1 X
ここで
J2 xC
3 x
+
n
+S" dr
dx 1
->
2
+
n-1 X
=|10g|x|=10gn
trill - Sdx = [log|\x]"
左辺 =
=
1
よって
logn >
1 1
+· +
2 3
logn
1
n
1
++
n
終
