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基本例題 25 比例式と式の値
(1) x+y=y+z
z+x
(0)
6
7
(2)
b+c
解答
c+a_a+b
b
(1)
xy+yz+zx
1 x2+y2+22
のとき、この式の値を求めよ。
x+y_y+z
5
6
x+y=5k….. ①,y+z=6k ②,z+x=7k・
① +② +③ から
2(x+y+z)=18k
したがって
x+y+z=9k
(4)
④-②, ④-③, ④-① から,それぞれ
x=3k, y=2k, z=4k
3+00-0-0
指針条件の式は比例式であるから, 比例式は=kとおくの方針で進める。
(1) k とおくと
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k
これらの左辺は x,y,z が循環した形の式であるから、Aの辺々を加えてみる。
すると, x+y+zをk で表すことができる。 右下の 検討 参照。 (2) も同様。
z+x=kとおくと,k=0 で
7
a
よってxy+y+zx
x2+y2+22
16 (2) 分母は0でないから
b+cc+a
a+b
C
6k2+8k2+12k2
(3k)²+(2k)²+(4k)²
26k2 26
29k2 29
abc=0
-
a
=kとおくと
Falls
(a+b+c)(k-2)=0
a+b+c=0 または k = 2
b+c=-a
b+c=ak... ①,c+a=bk… ②, a+b=ck... ③
2(a+b+c)=(a+b+c)k
-a=-1
...
a=b (*)
1-GR U=1
の値を求めよ。
00
基本 24
=
晶検討
①~③の左辺は,x,y, z
の循環形 (xyz→xと
おくと次の式が得られる)
になっている。 循環形の
式は,辺々を加えたり, 引
いたりすると、処理しや
すくなることが多い。
<x:y:z=3:2:4から
3・2+2・4+43
32 +22+42
と計算することもできる。
<abc≠0
①+②+③ から
よって
ゆえに
[1] a+b+c=0のとき
b+c
よって k=
a
[2] k=2のとき, ①② から
b+c=2a,c+a=26
この2式の辺々を引い
b-a=2(a-b)
よって a=b
② ③ から
b=c
よって、a=b=cが得られ,これは abc≠0) を満たす (分母) 0の確認。
すべての実数a,b,c について成り立つ。
[1], [2] から 求める式の値は
-1, 2
α = 0 かつ
b = 0 かつc≠0
0の可能性があるから、
両辺をa+b+c で割っ
てはいけない。
(*) k=2のとき ①, ②
から
