30 高次方程式
(1) 3次式-(2a-1)x2-2(a-1)x+2
を因数分解せよ .
(2) xに関する方程式
x³-(2a-1)x2-2(a−1)x+2=0
が異なる3つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ.
精講
(1)3次式の因数分解といえば, 因数定理 (27
もちろん、これで解答が作れます (解I) が,数学Ⅰで
文字が2種類以上ある式を因数分解するときは,次数の一番低
い文字について整理する
ということを学んでいます. (数学ⅠA4
II )
復習も兼ねて,こちらでも解答を作ってみます (解ⅡI).
(2)(1)より,(1次式) (2次式) =0 の形にできました.
1次式 = 0 から解が決まるので, 2次式=0が異なる2つの実数解をもて
ばよいように思えますが,これだけでは不十分です.
(1)(解I)
解答
f(x)=x-(2a-1)x2-2(a-1)x+2 とおく.
f(-1)=-1-(2a-1)+2(a-1)+2
=-1-2a+1+2a-2+2=0
f(x)=(x+1)(x²-2ax+2)
よって, f(x) は x+1 を因数にもち,
(解Ⅱ)
(2a-1)x2-2(a-1)x+2
=(x'+x²+2x+2)-2(x²+x)a
=x(x+1)+2(x+1)-2x(x+1)a
=(x+1){(x+2)-2ax}
=(x+1)(x2-2ax+2)
「f(x)=」 とおくの
は 因数定理を使う
準備
|xに数字を代入した
ときに, αが消える
ことから, f(-1)=0
を想像する
