注意
・m P.25.
問31
次の数列{an}の一般項を求めよ。
(1) 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...
(2)3,4, 1, 10, - 17,64, - 179,
考え方 階差数列をつくり,その一般項を求めて基本事項の公式を用いる。
(1) この数列{an}, その階差数列{bn} とすると,{bn}は
解答
1,3,5,7,9,11,
したがって, n≧2のとき
となる。これは,初項 1, 公差2の等差数列であるから
bn=1+(n-1) 2=2n-1
n-1
n-1
an= a₁ + b = 1+(2k-1) = 1 + 2Σk-Σ1
+(2k
k = 1
k=1
=1+2･ 1/12 (n-1)-(n-1)
したがって, n≧2のとき
= 3+
n-1
=n²-2n+2
α=1であるから, an=n²-2n+2はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
an=n²-2n+2
(2) この数列{an}, その階差数列を {bn} とすると,{bn} は
1,-3, 9, - 27,81, -243,
となる。 これは,初項 1,公比-3の等比数列であるから
bn=1・(-3)n−1 = (−3)n-1
an = a₁ + Σbk=3+(-3) -1
k=1
n-1
...
k=1
1・{1-(-3)^-1}
1-(-3)
α=3であるから, an
=
1節数列—25
=1/{13-(-3)^-1}
=
n-1
2Σk-
k=1
n-1
・k=1
3+1/(1-(-3)^-1}
1章 数列
{13-(-3)"-'} はn=1のときも成り立つ。
ゆえに
an=1 {13-(-3)^-1}
基本事項 ② の公式は, n ≧2のとき成り立つものである。得られた式に
n=1 を代入した値が初項と一致することを確かめてから一般項とする。
