60 平面に下ろした垂線 (1) ………(座標あり)
基本例題
平面αに下ろした垂線とαの交点をHとする。 点Hの座標を求めよ。
3点A(2,0,0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 6) を通る平面をαとし, 原点Oから
CHART
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平面に垂直な直線
OH (平面ABC) のとき OH･AB=0, OH・AC=0 ••••••
点Hは平面ABC 上にあるから, OHは
OH=sOA+tOB+uOC,s+t+u=1
と表される。
また, OH⊥ (平面ABC) のとき, OH と平面ABC 上にあるベクトルは垂直であ
るから,OH･AB=0, OH･AC=0 を利用して s, t, u を求める。
(直線と平面の垂直については数学Aで学習した。「改訂版チャート式解法と演習
「数学A」の第3章第12節 「空間図形」 の基本事項を参照。)
答
点Hは平面α上にあるから, s, t,u を実数として
OH=sOA+tOB+uOC, s+t+u=1
と表される。
よって
また
OH⊥(平面α)であるから
よって, OH･AB=0 から
すなわち
-4s+16t=0
また, OH･AC=0 から
すなわち
-4s+36u=0
S
S
①②から=u=1
ゆえに
OH=s(2, 0, 0)+t(0, 4, 0)+u(0, 0, 6)
=(2s, 4t, 6u)
AB=(−2, 4, 0), AC=(-2, 0, 6)
OH⊥AB, OH⊥AC
2s×(-2)+4t×4+6ux0 = 0
s+t+u=1に代入して
36
49
OH=
このとき
S=
(72
49
1/72
9
2s×(-2)+4t×0+6ux6=0
......
36
49
よって
②
S
+ 2 + 8.
36 24
49' 49
24
49
=1
t =
9
49
u=
基本 58,59
49
O
2
A
B
4
431
2章
8
AV
◆t, u をそれぞれ's で表
す。
F
