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第6章 微分法と積分法
基礎問
90 共通接線
5/5
2つの曲線 C: y=x3, D:y=x2+pr+g がある
(1) C上の点P(a, d3) における接線を求めよ
(2) 曲線DはPを通り,DのPにおける接線はと一致する。こ
のとき,p,q をαで表せ) 小
(3) (2)のとき, D軸に接するようなαの値を求めよ。
(2)2つの曲線 C,Dが共通の接線をもっているということです
が,共通接線には次の2つの形があります
精講
(I型)
(Ⅱ型)
y=f(x)=g(x)y=f(x) y=g(z)
Qi
P
アイは一致するので, 3d²=2a+p, -20°=q-a
1, p=3a²-2a, q=-2a+a²
y = ( x + 2² )² + q = b² だから, 曲線
(3) D:y=(x+
4
Dがx軸に接するとき,頂点のy座標は 0
.
-=0
4
4q-p²=0
よって, 4(-2a3+α2)-(3a2-2a)=0
4a²(−2a+1)-α(3a-2)2=0
a^{-8a+4-(9a2-12a+4)}=0
a³(9a-4)=0
<x²+px+q=0 の
145
(判別式) =0 でもよい
展開しないで共通因数
でくくる
4
.. a=0,
9
注 a=0が答の1つになること
は,図をかけば軸が共通接線
であることから予想がつきます.
20
YA
C
10
(2)はポイントを使うと次のようになります。
a
α
違いは、接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP
で一致しているので(I型)になります。 小 入
どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え
れば答をだせますが, (I型)についてはポイントの公式を覚えておいた方が
よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります.
解答
(1)y=xより,y'=3m² だから,P(a, α) における接線は,
y-a³=3a²(x-a)
:.l:y=3ax-2α° ......ア C
(2)PはD上にあるので,a+pa+g=a ...... ①
PEDESTA
86
また,y=x+px+α より y'=2x+pだから,ませ
Pにおける接線は,y-a=(a+b)(x-a)
:.l:y=(2a+p)x+α-202-pa
y=(2a+p)x+q-a² ......(*)
y-f(t)
f(x)=x, g(x)=x+px+g とおくと
f'(x)=3x2, g'(x)=2x+p
[ a³=a²+pa+q
13a2=2a+p
p=3a2-2a
よって,
g= -2a3+α2
ポイント
2つの曲線 y=f(x) と y=g(x)
共有し, その点における接線が一致する
f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t)
点 (t, f(t)) を
演習問題 90
第6章
関数 f(x)=x^2とg(x)=-x+αのグラフが点Pを共有
し、点Pにおける接線が一致する。このとき,aの値とPの座標を
求めよ.
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