習問題5
† 例題
条件付き2変数で表された関数の最大最小
17
x+y=1,x≧0,y≧0 を満たす実数x, yについて, 3x2+y2 の最大値と
最小値を求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
条件式から1変数を消去する。 変域に注意する。
x+y=1 より
y=1-x ... ①
AY
Y=f(x)
また, x≧0, y = 1-x≧0より 0 ≤ x ≤ 12
① を 3x2+y2 に代入するとxの関数となるから,
f(x) = 3x2+y2 とおくと
3
f(x)=3x²+(1-x)=4(x-141) + ³/
4
よって, ② における Y = f(x) のグラフは、 右の図の放物
線の実線部分である。 これより, f(x) の最大値,最小値は
x=1のとき
最大値 3 このとき, ① より y = 0
3
3
x =
1/12 のとき 最小値 2/24 このとき,①より y
4
x=1, y=0 のとき
最大値3
したがって
1
3
x=
y = のとき 最小値
9
4
考え方
・解
3
4
3
3
O
1
4
x
