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2次関数の最小値と相加・相乗平均
絶対暗記問題 18
難易度 大
CHECK
7
CHECK 2
CHECK
| 2次関数y=f(x)=-ax2+bx+c (a≠0) は, 2点(1,-3), (513)
通る。 以下の問いに答えよ。
(1) b, c を a を用いて表せ。
(2) 2次関数y=f(x)の頂点の座標をαで表せ。
(3)αが正の値をとって変化するとき, 頂点のy座標の最小値を求めよ。
ヒント! y=f(x) が2点 (1,3), (5,13) を通るので,f(1)=-3, f (5) = 13
だね。(2)y=f(x) を標準形にする。 (3)相加・相乗平均の不等式を使う。
解答&解説
(1)y=f(x)=-ax2+bx+cは,2点(1,-3), (5,13) を通るので、
f(1) = - a+b+c = -3
......①
f(5) = -25a+5b+c = 13 ......2
①-②より,24a-4b=-16,6a-b=-4 ∴b = 6a + 4 ... ③…(答
③①に代入して,-a+6a+4+c = -3:c=-5a-7.・・④・・・(答)
=-ax
(2)(1) より,y=ax2+(6a+4)x-5a-7
-9/x²-
-
6a+4
a
3a+2
x+
-5a-7
(3a+2)^
a
a
「2で割って2乗
3a+2
4a²+5a+4
ax-
+
a
a
9a²+12a+4
a
y=f(x)の頂点の座標は
3a+2
a
4a²+5a+4
a
4a²+5a+4
3) 頂点のy座標を変形すると,
a
= 4√(a + 1) + 5
ここで,a>0のとき, 1>0よって,相加平均と相乗平均の不等式より、
4(a + 1 ) + 5 ≥ 4 · 2 √ d. 17
+5=13
等号成立条件 : a=1
a
a = 1)
よって、頂点のy座標の最小値は13である。
相加・相乗平均の不等式: p>0, g>0のとき,p+q≧2vpg (等号成立条件:p=q1
