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思考のプロセス|
例題 206 導関数の等式と関数の決定
(1) 0でない定数をと整式で表された関数f(x) が等式)
f(x) + x°f°(x) = kx° + k°x+1 を満たすとき, 定数kおよび関数f (x)
(2, 3より
k
b=-a= ー
2
1a=
を求めよ。
(2) (x+1)f'(x) =2f(x)+4, f(0) =0 を満たす整式で表された関数 f()
を求めよ。
これを④に代入すると
k= *
で0=()
kキ0 であるから
k= -
2
12k+k=0 ょり
k(2k + 1) = 0
よって
f(x)= anx"+am-1x"-1 +am-2.cM-2+ ……+a2x"+ax+ao(an キ 0)
のように一般的な形でおくと,式がかなり複雑になる。
段階的に考える
a=-
6=
4
C=1
1
したがって
f(x) = -
4
+ーx+1
(2)(x+1)f"(x) =D 2f(x) +4 …① とおく。
f(x)を定数関数とすると,f(0) =0 より f(x) =0
このとき,f'(x) =D0 となり, これは① を満たさない。
よって,f(x) をn次式 (nは自然数) とし, x" の係数
をa (aキ0)とする。
このとき、
(x+ 1)f"(x) はn次式であり, x" の係数は_an
2f(x) +4 はn次式であり,x" の係数は 2a
よって,①より
aキ0 であるから
ゆえに,f(x) は2次式である。
f(x) = ax° + bx+c とすると
のにそれぞれ代入すると
(x+1)(2ax+1b) =D 2(ax° + bx+c)+4
整理すると
これがxについての恒等式であるから
I.まず次数を決定する。
II.各係数を決定する。
未知のものを文字でおく
日S(x) が定数関数のと
き,すべてのx について
S(x) = S(0)
(1)(左辺の次数) = (右辺の次数)から nを求める。
f(x)をn次式とする <
(2)(左辺の次数) = (右辺の次数)ではnが決定しない。
→さらに,最高次の係数をaとおいて,
(左辺の最高次の係数) = (右辺の最高次の係数)
日 f(x) がn次式のとき, f'(x) は(n-1)次式と考えたいが,
これは n=0(f(x) が定数関数)のときはあてはまらない。
よって, n=0のときは分けて考える。
Action》 導関数の等式からの関数決定は, まず次数を決定せよ
S(x)は(n-1)次式であ
るから,(x+1)S (x) は
n次式である。
f(x) = ax" + より
S(x) = anx"-1+…
an = 2a
0 )
n=2
f'(x) = 2ax+ b
(1) f(x) +x°f'(x) =D kx° +k°x+1 …① とおく。
f(x)を定数関数とすると
このとき,①の左辺は定数, 右辺は3次式となるから,
不適である。
よって,f(x) をn次式 (nは自然数)とする。
このとき,f'(x) は (n-1)次式となるから, ① の左辺は
(n+1)次式, 右辺は3次式である。
f(x) =0 )
04日解答6行目にn-1が
現れるから, n=0 すな
わち定数関数の場合を分
けて考える。
(2a-b)x+(b- 2c-4) = 0
( 2a-b=0
16-2c-4=0
f(0) = 0 より
3, 4 より
4係数を比較する。
c=0
f(x) がn次式で
°f(x) は(n+1)
次式であるから、
f(x) + x°f"(x) は
(n+1)次式となる。
0
4のを3に代入すると
ゆえに
n+1=3 すなわち n=D2
b=4
したがって
f(x) = 2.x° + 4.r
2に代入すると a=2
よって,f(x) は2次式である。
f(x) = ax° +bx+c (aキ0) とおくと
f'(x) = 2ax+b
のに代入すると
ax° + bx+c+x°(2ax+b) = kx° +°x+1
2ax°+ (a+b)x+ bx+c= kx +k°x+1
(O T
[ e+do
これがxについての恒等式であるから
練習 206 (1) 0でない定数kと整式で表された関数 f(x) が, 等式
f(x) +f"(x) =D 4kx° +2k°x+1 を満たすとき, 定数kおよび関数f(
を求めよ。
(2)(x-1)f"(x) = 3f(x)+2, f(0) = -1 を満たす整式で表された関数 f(
(2a = k
3
|a+b=0
6= °
4係数を比較する。
4
