この問題の(1)の答えがx=-6k+28,y=7k+12でも正解になりますか？

508 基本例題 128 1次不定方程式の整数解 (2)... ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 kx (2) 37x-90y=4 A 7.2² 指針ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで,(2)では, 次の方針による解答を考えてみよう。 (121 CHART 不定方程式の整数解 内にあわせる 1組の解 (p.g) を見つけて a(x-p)+b(y-q=0 しかし (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから aとbの最大公約数を互除法によって求め、その計算過程を逆にたどる。 ・特に, 1 = ap+bg の形が導かれたら、 両辺を倍して4(cp)+b(cq)= 47100-4 [2] 係数を小さくして (本書では係数下げ と呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお、検討として, [3] 合同式を利用する 解法も取り上げた。 解答 7(x-4) +6(y-2)=0 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに、方程式は すなわち とは互いに素であるから, kを整数として 7(x-4)=-6(y-2) x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4 m=37, n=90 とする。 (a) 90=37・2+16 から 16=90-37.2=n-2m 37=16･2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 ****** =5m-2n 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ ⑤⑥ 16-5-3+1 5 1-16-5-3-(n-2m)-(5m-2n).3 -**--. ****** =-17m+7m 37-(-17)-90-(-7)=1 基本127 演 131, ゆえに ○ 両辺に4を掛けて ! ①② から 37(x+68)-90(y+28) = 0. すなわち 37(x+68)=90(y+28) 37 90 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k, y+28=37k 37 (68) -90(-28) =4..... ② と表される。 よって, 解は x=90k-68, y=37k-28 (kは整数) 7x+6y40 から 7x=2(20-3y) よってxは2の倍数であ る。このようにして, 方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい｡ 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16② を代入して整理す 16② 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを0に戻す。 x=-17, y=-7 は 37x-90y=1を満たす。

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, ・① LA HILC ax+by = c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解) を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-xo)=-b(y-yo) [x-xo = bk, ly-yo-ak (kは整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

矢印の式変形のやり方を教えてください

◇1・3の答え (1) 背理法を用いる. 1≦k≦が…. ① を満たす整数k, i について xkgとx-lg をかで割ったときの余りが等しいと する、このとき, (x-kg) - (x-lg)=(1-kg) ほかの倍数である. ところがとgは互いに素であ るから, ph はの倍数る。 となる。 ここで①より、 > 1≤l-ksp-1. これを満たすかの倍数-kは存在せず矛盾する. よって、x=4,x-2g,.., x-pgをかで割った 余りはすべて相異なることが示された。

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, 1 (Ax-B)(Cyax+by=c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解)を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-x)=-b(y-yo) x-xo= bk, y-yo=-ak ly- ne 2 11 (は整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

演習β 21回 4 マーカー部分がどういうことか分からないので教えてください。

4 [2001 神戸大] (1)a,b,c を整数とする.x に関する 3次方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解を もつならば,その解は整数であることを示せ。ただし、正の有理数は1以外の公約数 をもたない2つの自然数m,n を用いて! と表せることを用いよ. m (2) 方程式x+2x2+2=0は, 有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ . [解答 mとnが1以外に公約数をもたない自然数であるとき, 「mとnは互いに素である」と いう。 (1) 方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解x = αをもつとする. α=0のとき,αは整数となる. α>0のとき, α= n (m,nは互いに素な自然数) とする. m x=αは方程式の解であるから a³+aa²+ba+c=0 3 2 ( m )³ + a( m )² + 6( m) + b m m ゆえにn+amn²+bmin+cm²=0 よってn=-man²+bmn+cm ² ) a, b, c, m, nは整数であるから,ndはmの倍数である. mとnは互いに素であるから、mとnも互いに素である. したがってm=1? ゆえに, αは整数となる. すなわち n - +c=0 2両辺にかける また, α<0のとき, α=-- とすると,同様の結果が得られる. m (2) 方程式x+2x2+2=0が有理数の解x =α をもつと仮定する. (1) から, αは整数である. a³ +2a²+2=0+5 a³ +2a² = -2 すなわち α2 (a+2)=-2 αは整数であるから (α, α+2)=(1,-2),(-1,-2) しかし,これを満たす α は存在しないから, 矛盾. したがって, 方程式x3+2x2+2=0は有理数の解をもたない.

演習β 21回 3 1つめのマーカー部分について、2r²ー2rが0じゃなくても2^m=2(2r²ー2r＋1)の()内は整数になるのでどんな場合でも2^mは偶数になるんじゃないんですか？ あと、2つめのマーカー部分はなぜこうなるのか分からないので教えてください。

3 [2014 関西大] y2=4x4+221 を満たす自然数 x, y を求める。 (1) 自然数m,nに対して, 2"1=nが成立したとする。 2" は偶数だから,nは奇 数となる。 よって, ある自然数を用いてn=2r1と表せる。 このとき, 2"=2(272-72+1)が成立する。もし, 22-72が0でなければ,2" がある1より大きい奇数で割り切れることになり,矛盾する。 したがって, となる。 m=n= (2) y2-4.x を因数分解すると(y+22+2)(y-22 x2) となる。 ウ y+ y+ 2x225 が成立する。よって, x2=2 (21)が成立する。一般に, 最大公約数が1である自然数 1, ”に対して, uv がある自然数の2乗になるならば, u, それぞれがある自然数の2 乗になる。したがって,(1)より、x=2^口, と求まる。 解答 y2=4x4+221 2･ 2 ウ 2 x2は221 の正の約数だから, ある0以上の整数aを用いて ①とする。 (1) 2m-1=n2, n=2r-1から x2 = 2 と表せる。 このとき, y- 2m=n2+1=(2x-1)2+1=4r2-4r+2=2(2r2-72+1) 22-2r=0 より nr-1)=0 このとき と表せる。 m=n=1 (2) y2-4x^=y²-(2x²)2=(y+ 2x2)(y-2x2) ① より, y+2x2 は 221 の正の約数であるから y+2x2=2(aは0以上の整数) 7²= このとき, 2(y-2x² =221 より y-2x2=2 (21-4) ②③ から (2* (2a-21) — 1) 2.2x2=2a_221-221-d(2* 2.2x²=(2x)2 であり,221-4, 224-21-1 は互いに素であるから, 221-4, 224-21-1 はそ れぞれある自然数の2乗になる。 は自然数であるから r=1 221-4 がある自然数の2乗になるとき, a は 0≦a≦21 を満たす奇数である。 ...... ④ 一方,224-21-1について, 2a-21 は整数であるが, 2a-21 ≤0 とすると, 224-21_1 は自然数とならない。 2m-1²が成立するとき ABAR LIOS m=n=1 したがって, 2a-21 は自然数である。 ゆえに, 22-21-1 がある自然数の2乗になるとき, (1) より 2a-21=1 これを解くと a=11 これは ④ を満たす。 このとき 22.x2=221-11.1より x=28 すなわち x=24 y=2x2+221-a=2.28+221-11 = 3.29 221~1 (0)1=s 2621-11-2) 8

素数が無限個あることの証明 下の写真の照明の1行目なのですが、なぜn1を2以上とするのですか？

F 前ページの基本例題112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は、 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 素数は無限個あることを証明せよ。 を2以上の自然数とする。n」とは互いに素であるから,n=n(n+1) は異な る素因数を2個以上もつ｡ 同様にして, ng=n(n+1)=n(n+1)(n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから、素数は無限個存在する ※各自=2やn=3などの場合で,このことを検証してみるとよい。 ALL

写真の解き方を教えてください。

9.56以下の自然数のうち、56と互いに素である整数は全部で何個あるか。 AMP SE ra 19 自治医大 看護 24個

⑵の赤い線が引いてある2-1の意味がわかりません。 なぜ23-2ではダメなのでしょうか 教えて欲しいです！

練習問題 45 (1) 6で割ると4余り, 7で割ると1余る自然数 x を考える。 xは6で割ると4余る自然数であるから, xは自然数 m を用いて, x=ア m-イ と表すことができる。 ウ n- I と表すことができ また, xは7で割ると1余る自然数であるから, xは自然数n を用いて, x=[ これら2式より カ ... (*) m=n= 余りからの整数の決定 ア (m- ア 解答 Key 1 「ア m=ウn- は方程式 (*) を満たすから, ウカ カ 1) = と は互いに素であるから,m- が成り立つ。 したがって, x を0以上の整数kを用いて表すと, x=クケ+コサとなる。 オ (2) (1) の結果を利用すると, 6で割ると4余り, 7で割ると1余る3桁の自然数は全部でシス 個 その中で最小の自然数はセソタ,最大の自然数はチツテである。500 (1)xは6で割ると4余る自然数であるから p001 x = 6m-2 (ml) と表すことができる。 また,xは7で割ると1余る自然数であるから x=7n-6 (nは自然数) と表すことができる。 これら2式より 6m-2=7n-6 よって m=n=4は方程式 (*) を満たす。 すなわち 6m=7n-4 ... (*) 6.4 7.4 4. ... (**) de カキの倍数となる。 ab (*), (**) の辺々を引いて 6(m-4)=7(n-4) ここで, 67は互いに素であるから,m-4は7の倍数である。 ゆえに, m47k (hは0以上の整数) とおけるから 23-(2-1)=22 (個) そのうち最小の自然数は 42･2+22 = 106 また、最大の自然数は 42.23 +22 = 988 m = 7k+4 したがって, x を0以上の整数kを用いて表すと x=6m-2=6(7k+4)-2 42k+22 (2) x 3桁の自然数とすると 100 ≦x≦999 MM 1 (1) の結果より 100 ≦ 42k +22 999 これを解いて 1.8･･･ ≦k≦ 23.2･･･ んは整数であるから 2 ≤ k ≤ 23 130 & 9 したがって6で割ると4余り 7で割ると1余る3桁の自然数の個数 は全部で 100 fiatrisdictas 6で割ると4余る自然数x 表し方は、他に x=6m+4(mは0以上の整数 x=6m-8(mは2以上の整数 などがあるが,が自然数と う条件を満たすのは x=6m-2だけである。 (*) で m = n とおくと, 6m=7m-4 となり m=4 m≧1より 7k+4≧1 3 よって k≧- んは整数であるから k≥0 攻略のカギ① By ax+by=c の整数解は、 まず1組の解を見つけよ 24 (p.83) 1次不定方程式 ax+by=(a とは互いに素)の1組の整数解をx=b, y=gとすると, この方程式の整数解は整数nを用いて ta

最大公約数が整数なのは何故ですか？(マイナスになることもあると思うのですが、) また、a.a+1が負の整数でも成り立つと書いてありますが、そうすると、m,nが自然数であることに矛盾してしまいませんか？

倍数、互いに素に関する証明 基本 例題 108 は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, a+3は6の倍数であると (1) a き α+9は12の倍数であることを証明せよ。 (\2) 自然数a に対し, a と a +1は互いに素であることを証明せよ。 CHART & SOLUTION 倍数である, 互いに素であることの証明 (1) m,nを自然数として α+5=4m, a+3=6n と表される。 そして, 「aの倍数かつ の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数｣ であることを利用する。 また, αとが互いに素のとき 「ak が6の倍数ならば, kは6の倍数」 であることを 利用してもよい(別解 参照)。 (0:34.9) 18 18 3 (2) 互いに素である最大公約数が1 最大公約数をgとおいて, g=1であることを証明すればよい。 自然数 A, B についてAB=1⇔ A=B=1 を利用する。 答 (1)a+5,+3は,自然数m,nを用いて a+5=4m, a +3=6n と表される。 p.174,175 基本事項 1.5| ・① a+9=(a+5)+4=4m+4=4(m+1) a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1) ② よって, ① より α+ 9 は 4の倍数であり, ② より α+9は 6の倍数でもある。 したがって, a +9は4と6の最小公倍数12の倍数である。 (2) α と a + 1 の最大公約数をg とすると a=mg, a+1=ng (m,nは互いに素な自然数) と表される。 (n-m)g=1 aが自然 a=mg を a+1=ng に代入すると キロ mg+1=ng すなわち は自然数であるから n-m=1,g=1 したがって, a と α+1の最大公約数は1であるから, a とα+1は互いに素である。 別解 (1) ①, ② から 4(m+1)=6(n+1) すなわち 2(m+1)=3(n+1) 2と3は互いに素である から,m+1は3の倍数 である。 よって m+1=3k(kは自然数) と表される。ゆえに a+9=4(m+1) だから、 183 =4.3k=12k したがって, α+9は12の 倍数である。 α を消去する。 ◆最大公約数は自然数。 ◆α と α+1 が負の整数で も同様に成り立つ。 4 13 紅 FE 女