111 面積(VI)
F(t)=e*+e-, g(t)=e*-e-* (-8<t<) とする.
71) f(t)の最小値を求めよ。
(2) {f(t)}?-{g(t)}?の値を求めよ。
て
A
る。このときCの概形を図示せよ。
(4)t=-1, t=1 に対応するC上の点をそれぞれA, Bとする,漁a
AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
面積に関する最後の問題です。かなり難しいかもしれませんが、誕
精講
導に従ってチャレンジしましょう.
(1) 微分してもよいのですが, 「e'>0, e"*>0」 に着目すれば…。
(3)(2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり, (1)から, 双曲線のどの
部分が適するかがわかります。
(4) 媒介変数で表された関数について, その関数のグラフとェ軸とで囲まれた
部分の面積は ||ylda で表せます。
解答
(1) e'>0, e-*>0 だから, 相加平均之相乗平均より
f(t)=e'+e"'22\e".e-t=2
(等号は,t=0 のとき成立)
ゆえに f(t)22 となり, 最小値2
注「f(t)22」から, すぐに「f(t) の最小値は2」といってはいけませ
ん.「f(t)22」は「f(t)>2 または f(t)=2」 という意味ですから,
f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません。
ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。
「相加平均之相乗平均」を使えば,早く答えにたどり着くかわりに,
論理的なワナにかかる可能性があるということです。
(2){f(t)}?-{g(t)}?=(e*+e-*)?-(e*ーe-')?
下の注
=(e*+2+e-2)-(et-2+e-2")=4
(別解)(f(t)}?-{g(t)}?={f(t)+g(t)}{F(t)-g(t)}=2e".?6=
