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384
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右の図の直方体で, OA=d, OB=1,OC=c, OP=1 と
する.
と a, , このなす角をα1, B1, 71 とするとき,
cos2d1 +cos2β1+cos2y1=1 であることを証明せよ.
考え方
解答
座標を導入して, 内積を用いて表す.
右の図のように, Oを原点とする直交座標を設定する.
x,y,z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ ex=(1, 0, 0),
ez=(0, 1,0), es= 0, 0, 1) とし, p= (x,y,z) とおく
と,
p•ei=x=1・|p|cos α1
p•ez=y=1·|p|cos B1
pes=z=1・|p|cos Y1 …… ③
ZA
ANT
+cos2(90°-β2)+cos2(90°y) A
=sin?az+sin'β2+sin'yz
①' +②2+③^ より,
x2+y2+z=1D2(cos2an+cos2 B1+cos2y1) (084-
ここで,|pP=x2+y2+22≠0 より, cos2a+cos2 B1+cos²yｭ=1
IC
r1
072
P
注〉 例題 384 にあるとx軸,y軸、z軸のなす角 α1, B1, Y1 に対して, COS α1, COS P',
COSY1 をの方向余弦という. 例題384 だけでは何の意味があるかわかりにくいが,
cos'a+cos2 B1+cos' r1 = 1 から次のこともわかる.
(ア) OP と 平面 OBC, 平面 OCA, 平面 OAB のなす角をそ
れぞれ az, B2, Y2 とする. との関係は下の図のよ
うになるから, X₁+X2=90°
同様にして, α+αz=90°, B1+B2=90°
したがって, cos'a+cos2 B1+cos2Y1
=cos2(90°-α2)
=(1-cosaż)+(1-cos'β2)+(1-cos'yz)=1
UAO
A
IB
C
C
ni
0 B1
x A
内積を用いる.
0
a
ri
・B
/α
l' は l を平面αに正
y 射影した直線で,この
ときのが直線と平
面αのなす角である。
:平面αの
法線ベクトル
50
よって,
cos'az+cos2β2+cos'y2=2
(イ) OP のかわりに平面ABCの法線ベクトルについて考える。 平面ABCと平面
OBC,平面 OCA,平面OAB のなす角をそれぞれ Q's, B3, Y3 とする。
右の図より, Y = Y3 同様にして, α =α3, B1=B3
よって,
cos'as+cos2β3+cos2y3
平面ABCの
法線ベクトル
平面ABC
73
平面OAB
=cos'a'+cos2B1+cos2y1=1/①(
また, OBC, AOCA, △OAB はそれぞれ △ABCの
yz 平面, 2x 平面, xy平面への正射影より、
△OBC=△ABCcos α3, OCA=△ABC cos β3,
△OAB=△ABC cos Y3
よって, ① を用いると,
(△OBC)2 + (△OCA)^+(△OAB)²=(△ABC)2 (四平方の定理) が導ける。
