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基本 例題 63 1の3乗根とその性質
(1)1の3乗根を求めよ。
(2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。
(ア) 2も1の3乗根であることを示せ。
1
00000
(1) w²+w8 + +1 +2ω^)+(2ω+ω^) の値をそれぞれ求めよ。
W w²
・基本60
指針 (1)3乗してαになる数, すなわち, 方程式 x=αの解を, αの3乗根という。
(2)(1) で求めた方程式 x=1の虚数解を2乗して確かめる。
(イ)は方程式x2+x+1=0, x=1の解ω'+w+1=0,ω=1
(1)x1の3乗根とすると x3=1
ゆえにx-1=0 よって (x-1)(x2+x+1)=0
(日本
方程式
き換える!
断ってか
りる。なお
式の左
左辺ミリ
2
2章
11
1 高次方程式
解答
したがって
x1 = 0 または x2+x+1=0
-1±√3i
これを解いて, 1の3乗根は
1,
3次方程式の解は複素数
2
この範囲で3個。
(2))=-1+iとすると
ω°=(-1+√3i)_1-2√3i+3° _ -1-√gi
2
--- 3i とすると
2
4
2+a
ω°=(-1-√3i)_1+2√3i+30 -1 +
1+2√3i+32-1+√3i
はギリシャ文字で,
「オメガ」と読む。
(0)
W=
けて整
晶検討
4
2
よっても1の3乗根である。(1
x=1の虚数解のうち, ど
ちらをωとしても,他方
が となる。 よって, 1
て整
(イ)は方程式 x2+x+1=0, x=1の解であるから の3乗根は1,ω, 2
w2+w+1=0,ω'=1
よってω'ω'=(ω^)+(3)2w²=wtw²=-1
また 101+1/+1=
w+1+w2
ω=1を利用して,次数
を下げる。
=0
w2m+1=0から2=-ω-1となり
(+2ω^)+(2ω+w2) 2
={w+2(-w-1)}+(2w-w-1)² =>
=(-ω-2)+(ω-1)2=2ω2+2w+5
=2(-ω-1)+ 2 ω +5=3
ω=-ω-1 を利用して,
次数を下げる。
2(ω'+w+1)+3=2・0+3
としてもよい。
POINT 1の虚数の3乗根の性質 ①ω'+w+1=0 ② ω=1
[練習 ①がx2+x+1=0の解の1つであるとき, 次の式の値を求めよ。
② 63.
(1)10050
(3) (w200+1)100+ ( ω 100+1) +2
(2)1
