*268 nは任意の自然数, また, k=1, 2, ......, n について ak は 0≦a≦kを
満たす整数である。
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(1) 数学的帰納法により、 次の等式を示せ。
1 ·1! + 2・2! + ......+n.n!=(n+1)!-1
問題
(2) 2015=a・1!+α22!+......+ann! が成り立っているとき, n を求めよ。
ただし, an≠0 とする。
(3) (2)等式を成立させる a1, a2, ......, an を求めよ。
[15 早稲田大・政治経済〕
n-1)であり、a≠0 より an ≧1 であるから, ③ の
解答
I/C, ak ≤U|R=1, 2,
右辺は aｪ・1! + az･2!+......+a.n!≧a„・n!≧n!
ゆえに, ③ から
2015≧n!
ここで, 6!=720<2015,7!=5040>2015 であるから
したがって, ④,⑤から n=6
●
(3) (2)から 2015=1!.a+ 2! a2+3! as + 4! a4 +5! ・a5 +6! ・a6
0≦ak<k+1であることに注意すると
[1] 2015 を 2で割った商は1007, 余りは1であるから
n≤6
a₁ = 1
[2] 1007を3で割った商は335,余りは2であるから a2=2
[3] 335を4で割った商は 83, 余りは3であるから
[4] 83 を5で割った商は16, 余りは3であるから
a3=3
a4=3
[5] 16を6で割った商は2, 余りは4であるから a5=4,a6=2
したがって a=1, a2=2,a3=3, a4=3, a5=4,a6=2
2) 2015
3 1007 余り 1
43352
5833
6) 16
3
2余り4
