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11 2次関数y=x2+ax+av
ときのxの値を求めよ。
(2) 最大値
(1)
(1) 最小値
(1) 与えられた2次関数はy=(x+2a)²-4a²+α と変形できるから、この関数の
解
フの軸 x = -2a と定義域 0≦x≦4の位置関係を考えて,次の3つの場合に分
0≦x≦4 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の実線部分である。
(i) -2a<0 のとき
( 4 <-24 のとき
(ii) 0≤-2a ≤ 40
x=0
x=4i
x=4
x=0
x = 0
x=4
-2a
x=-2a
x=-2a
a>0 のとき
x=0で
最小値 α
(i), (ii), (i) より
ー2≦a≦0のとき x=-2a で 最小値-4α² + α
la<-2のとき
x = 4で
最小値 17a + 16
(2) 関数のグラフの軸 x = -2α と定義域 0≦x≦4の中央の直線x=2の位置
を考えて,次の3つの場合に分ける。 0≦x≦4 におけるこの関数のグラフは,
図の放物線の実線部分である。
(i) -2a<2のとき
(ii) -2a=2のとき
(i) 2<2a のとき
1x=4
x=4,
x = 0
x = 0
x=-2ax=0f
x=2
_x=-2a
(x=2)
=4
x=2
x=-2a
204y
=-(x-1)2 +5
(1) 軸は直線x=1である。 定義域 0≦x≦αに1を含まない
場合と含む場合に分けて考える。
(i) 0<a<1のとき
(ii) 1≦a のとき
2
x = a で
x=1で最大値5
最大値 - α²+2a+4
34
Olal
x
(2) 定義域の両端x = 0, x=α におけるyの値が等しくなるよ
うなαの値は a=2
軸に関して対称なグラフ
となる。
よって、以下のように3つの場合に分けて考える。
p
(i) 0<a<2のとき
(ii)a=2のとき
定義域の左端 x = 0 は軸
x=1から1離れている。
定義域の右端x= a が
x=0で最小値4
y
0獣大 x = 0, 2で最小値4
y
x=1から1離れた
5-
5
x=2であるとき
44
x = 0, a 0
のyの
値が等しくなる。
O 142
Ol 1a=2
( 2 <α のとき
x = α で 最小値 - α² +2a+4
次の205 (2) と同様に,軸
と定義域の中央の位置関
係で場合分けしているが,
204 (2)は定義域に文字
が含まれるため,わかり
い。したがって、場
y
合分けをするときは,a
よりを0から徐々に大きくし
ていくとグラフの形がど
のように変わっていくか
5
O
2 a
(3)
③
x=0で最小値0
f0 <a のとき
たがって
ー2≦a≦0 のとき x = -αで最小値-2α20
la<-2のとき x=2で最小値 8α+8
x=
関数のグラフの軸 x = -α と定義域 0≦x≦2の中央の
線x=1の位置関係を考えて,次の3つの場合に分ける。
x≦2におけるこの関数のグラフは、 下の図の放物線の実
一部分である。
L
-α < 1 のとき
(ii) -α = 1 の (ii) 1 < -α のとき
とき
x=
x=2
右
x=0x=2 x=0
Mostan
x=2
HAIT
左
x=-a
x=-a
x=2で最大値8α+8
で考
x = 0, 2 で最大値 0 $30 $3
x=0で最大値 0
x=-a
たがって
x=0
-1 <a のとき
a=-1のとき
la < -1 のとき
軸に
が