-
![]()
フォ
追
2
次の不等式が成
(1) a≧b,x≧y のとき (a+
(2) azb≥c, x≥y≥z (a+b+c)(x+y+z) ≤3(ax+by+cz)
指針
解答
(1)
(2) (1)と同じように大小比較をしてもよいが, (1)と(2) は文字数が違うだけで
じ。そこで、似た問題は結果を利用の方針でいく。
本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。 すなわち、
(2) のヒントになっているともいえる。
基本
a, b
り立
大小比較は差を作る 条件のa≧b, x≧y を,それぞれa-b≧0,
(1)
(1) ab, xy であるから
が?
2(ax+by)-(a+b) (x+y) () ()
=ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y)
よって
(2) (1) と同様にして、a≧b≧c, x≧y≧z であるから
b≧c, y≧zから2(by+cz)=(b+c) (y+z)
a≧c, xzから2(ax+cz)=(a+c)(x+2)
①,②,③の辺々を加えて
2(ax+by)+2(by+cz)+2(ax+cz)
=(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(a+c)(x+2)
よって
=(a−b)(x-y)≥0 (5 (3)-(*)
2(ax+by) ≥(a+b)(x+y)
=(a+b)(x+y)+b(y+z)+c(y+z)+α(x+2)+c(x+2)
=(a+b)(x+y)+(a+bz+c(x+y+z)+(ax+by+cz)
=(a+b)(x+y+z)+c(x+y+z)+(ax+by+cz)
=(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
すなわち
4(ax+by+cz)=(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
(a+b+c)(x+y+z) ≤3(ax+by+cz)
練習 (1) 次の不等式を証明せよ。
③ 31
(7) a²+b²+c²zab+bc+ca
(2)次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(ア) x≧0、y≧0のとき x
1+x
(イ) x≧0,y0,z≧0のとき
+
y
1+y
x
1+x
3
x+y
1+x+y
y
1+
2
(右辺) - (左辺)
示す。
a-b≥0, x-y
等号はa=b また
x=yのとき成立
(2) (右辺) (左
(1) a²+b¹+c¹≥abc(a+b+c)
指
針でいくと、差は
(a-b)(x-y)
+(b-c)(y-2)
+(c-a)(z-x)
形できがえ
注意
(2) の不等式について、
「α = b または x=y」t
「b=c またはy=z」
「c=α または2=x] (
きに等号が成り立つ。
よって、a=b=cまた
x=y=xが等号の成
件。
x+y+z
(2)
