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406 第6章 微分法の応用
Chec
例題 192 漸近線(②2)
Ph(x)=2x+y
f(x)=2x+√x-1 とする. 関数 y=f(x) のグラフの漸近線を求めよ.
考え方 (i)y軸に平行でない漸近線と, (i)y軸に平行な漸近線に分けて考える.
解答
(i)は,漸近線を直線y=ax+b とおいて考えればよいが,ここでは,x→+∞と
x-∞に分けて考える. (例題191では,x → +∞ と x→−∞ の結果が同じにな
るので,まとめてx→±∞ とした.
(i)は,xα±0 のとき, f(x)→ ±∞ となるようなαの値が存在しない場合である。
(i) 漸近線を直線y=ax+b とすると,
x→+∞のとき,
f(x)
a=lim
X→∞ xC
x→∞
=lim
X→∞
2x+√x2-1
xC
b=lim{f(x)-ax}=lim(2x+√x2-1-3x)
x18
a = lim
X→∞
=lim(√x²-1-x)=lim -1
-=0
x →∞0
したがって, a = 3,6=0 より, 漸近線は,直線y=3x
x→∞ のとき, t=-x とおくと, t→+∞
f(x)
2(−t)+√(−t)²−1
-=lim
t→∞
- t
=lim (2+.
(2+√1-1) ₁
X→∞
∞
x2-1+x_
b=lim {f(x)-ax}= lim (2x+√x2-1-x)
X→∞
x→18
在しない.
よって, (i), (ii) より,漸近線は,
=lim (x+√x2-1)=lim{-t+√(-t)^-1}
x→−8
t→∞
-1
m² √²−1+t
=lim 2-
t48
=lim(√f2-1-t)=lim
t→∞
したがって、漸近線は,直線y=x
lim f(x), lim f(x) が±∞になるようなaの値は存
x→a+0
x-a-0
and =(x) mil
-=0
注》例題 192 の関数のグラフは右の図のようになり,
漸近線は次のように考えることができる.
x→+∞では、x=xなので
直線 y=3x, y=x
1-
y=2x+√x2-1=2x+x=3x より 直線y=3x
では、1≒x なので,
y=2x+√x-1=2x-x=x より, 直線y=x
実際にグラフをかく場合などは,このような簡易的な
方法で求めると便利である.
=3
***
y軸に平行で
ない漸近線を
求める.
42-75-
|01
-2
x→+8,
x-8に
分けて考える。
∞-∞の不定
形より,分子
を有理化する.
∞ より
も,x→+8
の方が考えや
すいので,
t=-x
とおく.
∞-∞の不定
形より, 分子
を有理化する.
y軸に平行な
漸近線はない。
y=3x
YA
TV
