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2次方程式の解の存在範囲
基本 例題 50
2次方程式x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、 定数の値
00000
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
指針 2次方程式x-2px+1+2=0の2つの解をα βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1> 0 かつβ−1>0
(2) 1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3とβ-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の 別解 参照。
CON
解答
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別式 別解 2次関数
本
をDとする。
(820) 8 DOC
D=(−p)²—(p+2)=p² −p=2=(p+1)(p−2)_ &
ME=A
解と係数の関係から
(1) > 1,β>1 であるための条件は
Some 08
D≧0かつ (a-1)+(B-1)>0 かつ (a-1)(B-1)>0
(p+1)(p−2) ≥0
D≧0から
よって
a+β=2p,aß=p+2
p≤-1, 2≤p
①
(a-1)+(β−1)> 0 すなわち α+β-2>0 から2ｶ-2>0
TANJE
(2)
E-
TOSTO
すなわち
ゆえに
......
よって
p>1
BROT
(α-1)(β−1)> 0 すなわちαβ-(α+β)+1> 0 から
Me
p+2-2p+1>0
よって
p<3
3
求める』の値の範囲は,①, ②,
③の共通範囲をとって
カ>
......
......
0
p.81 基本事項 ②
①(SI
より大きく、他 -1 123 p
f(x)=x²-2px+p+2の
グラフを利用する。
D
(1) 1/1=(p+1)(p-2)≧0,
4
軸について x=p> 1,
f(1)=3-p>0
²5 2≤p<3 as
(-8)
adit
YA
x=py=f(x)
3-p18
+α P
83
SI 0 0 --
P5
30
① (2) f(3)=11-5p<0から
2章
80
a=x80 $I=m
SA=xal=m
9 解と係数の関係、 解の存在範囲
1180)
2≦p<3
(②) α<B とすると,α<3<Bであるための条件は自の市場題意から、α=Bはありえ
ない。
(α-3)(B-3) <0解を求めよ。 S..
aβ-3 (a+β)+9 < 0
p+2-3-2p+9<0
11式
5
として、一
方となるようなこの
-0
が次の条件を満たす解をもつように,定数aの
ra
