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★★★★
例題 214 4次関数のグラフの複接線
f(x)=x4x8x とする。
(1) 関数 f(x) の極大値と極小値, およびそのときのxの値を求めよ。
(2) 曲線 y=f(x) に異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
思考プロセス
(北海道大 )
《ReAction 接線の方程式は, 接点が分からなければ (t, f(t)) とおけ
(2)段階に分ける
曲線 y=f(x) に異なる2点で接する。
例題 209
y=f(x)l
例題
212
x=t における y=f(x) の接線/ が
x=t 以外の点で再び y=f(x)に接する。
の方程式とy=f(x) を連立すると
x=t
再び接する
xxの2次式) 0
x=t 以外の重解
(1) f'(x)=4x12x16x=4x(x+1)(x-4)
f'(x) = 0 とおくと
x=-1, 0, 4
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
x
1 ... 0 *** 4
***
+
-128
YA
f(x)
したがって
'(x)- 20 + 0 - 0
-37 0
x=0 のとき極大値 0
x=1のとき極小値 -3
x=4のとき極小値128
x
(2) 曲線 y=f(x) 上の点(t, -4-8) における接線
の方程式は、f'(t)=4-12-16 より
y-(4-413-813) (4t3-12t2-161)(x-t)
y=(4t-12-16t)x-3 +81 +81 ... 1
① と y=f(x) を連立すると
x-4x-8x=(4-12-16t)x - 3t + 8t + 8t
(x_t)^{x+(2t-4)x +3t-8t-8}=0
① が曲線 y=f(x) と x=t以外の点で接するのは
x²+ (2t-4)x+3t-8t-8=0 ... ② が x = t 以外の
重解をもつときであるから, ② の判別式をDとおくと
D=0
D
4
-=(t-2)2- (3t2-8t-8)=-2t²+4t+12
t-2t-60 より
このとき②の重解は
t=1±√7
-128
x=t で接するから,
(xt) を因数にもつ。
これは, t と異なる。
ここで, tはピー 2t-6 = 0 を満たし
12
4t-4
t2-21-6
4t3-12t2-16t
4t + 8t
4t3 - 8t2-24t
- 4t + 8t + 24
-3t+2t-6
-24
-3t+8t³ + 8t²
2-21-6)
- 3t + 6t + 18t2
21-102
2t3 42 12t
612+12t
割り算をして,次数を下
げる。
1-2t60 より
t=2t+6
よって
4t3-12t2 - 16t
=4t(t-3t-4)
=4t(-t+2)
= 4t +8t
=-8t-24+8t = -24
のように次数を下げても
よい。
よって, t = 1±√7 のとき
6t+12 +36
-36
4t3-12-16t=(t2-21-6)(4t-4)-24-24
36 +81 +81=(2t-6) (-312+2t-6)-36=-36
したがって, 求める接線の方程式は, ① より
y=-24x-36
(別解)
求める接線を y=ax+b... ① とし,2つの接点のx座
標を x = s, t (sキt) とする。 y=f(x) と① を連立
すると x4x8x-ax-b=0
②は, x= s, をともに重解にもつから,
(x-s) (x-t)=0 ··· ③ とおける。
③は
{(x-s) (x-t)}= 0
x^2(s+t)x+{(s+t) +2st}x"
... 2
例
38
5章 14 導関数の応用
{x-(s+t)x+st}=0
-2(s+t)stx+(st) =0
... ④
②④の係数を比較すると
-4-2(s+t) ... ⑤ -8= (s+t) + 2st ... ⑥
-a=-2(s+t)st ... ⑦ -b = (st)
... 8
1-8=4+2st
よって st =-6
⑤ より s +t = 2 であり, ⑥に代入すると st =-6
よって, ⑦ より a 2.2 (-6)=-24
⑧ より b=-36
ここで,s, tは2次方程式 X2-2X-6=0 の解であ
り
X=1±√7
重解ではないから, sキt を満たす。
stを確かめる。
したがって, 求める接線の方程式は
y=-24x-36
2t-4
x=
2
=-t+2=1+√7 (複号同順)
練習 214 曲線 y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
367
p.392 問題214
