この問題の（1）ではPが時計回りで転がっていると考えていますが、反時計回りで考えても正しいですか？

重要 例題 178 曲線の長さ (2) 動する 円 C:x2+y2=9 の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。 時刻tにおいて、 Dは点 (3cost,3sint) で Cに接している。が (1) 時刻 t=0 において, 点 (3, 0) にあったD上の点Pの時刻 t における座 2 標(x(t),y(t))を求めよ。ただし, Osts πとする。 (2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 MC [類 早稲田大] 基本177 CHART & SOLUTION (1) ベクトルを利用。 円Dの中心をQとするとOP=OQ+QP (Oは原点), 更に円Dと 円Cの接点をTとすると, QP と x軸の正の向きとのなす角はt-∠PQTIVA (2) 求める長さは3{x(t)}+{y'(t)} dt 解答 (1) A(3,0),T(3cost, 3sint) とする。 yhiap th YA C 2 DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は (2cost, 2sint) である。また, TP=TA=3t より 3 D T(3cost, 3sint) 2. 3t 2t 3 0 A X ∠PQT =3t であるから, QP がx軸の正の向きとな 角はt-3t=-2t OP=OQ+QP 0を原点とすると -=(2 cost, 2 sint)+(cos(−2t), sin(-2t)) =(2cost+cos2t, 2sint-sin2t) (2)x'(t)=-2sint-2sin2t, y'(t)=2cost-2cos 2t から {x'(t)}+{y'(t)}=4(sin't+2sintsin2t+sin22t) 2 +4(cos't-2costcos2t+cos22t) =4(2-2cos3t)=16sin2/23t osts/3であるから sin t≥0 よって, 求める曲線の長さは 16 sin²t dt= 20 3 4sin tdt =4• - COS 3.1 xb (e == 16 3 inf. 半径, 中心角の 弧の長さは20 ■ sin 20+cos20=1 costcos 2t-sintsin2t = cos(t+2t) C1X0 inf.x' (t) =-2sint(1+2cost) <0 (01/22)より、x(t) は積分区間で単調に減少す るから,Pは曲線上の同じ 部分を2度通ることはない。 PRACTICE 1789

(3)の問題について、∠AOBがθであることがどこを見たら分かるのかわかりません。 問題文の中から掴めるのでしょうか？

250 基本 例題 1563倍角の公式の利用 000 2 5 | 半径1の円に内接する正五角形ABCDE の1辺の長さをαとし, 0=1とする。 (1)等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。 (2) cose の値を求めよ。 (4) 線分AC の長さを求めよ。 指針 (3) αの値を求めよ。 0203 [山形大] P.247 基本事項 (1)30+20=2πであることに着目。 なお, 0 度数法で表すと 72° である。 (2) (1) は(2)のヒント (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形する と,cosの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して,その方程式 を解く。 (3),(4)余弦定理を利用する。 (4)では,(2)の方程式も利用するとよい。 0= (1)=1/2xから 50=2π よって 30=2π-20 2050=30+20 解答 このとき sin30=sin (2π-20)=-sin200020 したがって sin 30+ sin20=0 (2)(1) の等式から 3sin 0-4 sin³0+2 sin cos 0=0 sin00であるから, 両辺を sin0 で割って 3-4sin20+2cos0=0 ゆえに 3-4(1-cos20)+2cos0=0 整理して 4cos20+2cos0-1=0 (*) 0 <cos0 <1であるから -1+√5 cos 0= 4 (3)円の中心をO とすると, OAB において, 余弦定理 により AB2=OA2+OB2-20A・OB cos o =12+1-2・1・1・ -1+√5 5-√5 a>0であるから a=AB= 4 2 5-√5 (4)△OACにおいて, 余弦定理により AC2=OA2+ OC2-2OAOC cos 20 =12+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1) Jeb 3倍角の公式であ sin30=3sin 0-4sin0 忘れたら, 30=20+0 と して, 加法定理と2倍角 の公式から導く。 (3) HOT (S) a B 1 1 (4) O D =4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2cose B AC > 0 であるから (2)の(*)から。 0 -1+√5 5+√5 AC= 3+2. = 2 16 D [土] E E

16番 右向きの運動なのに静止摩擦力が右向きに働くのはどうしてですか？Ｂを中心に考えたらBは左向きの運動をしてるから摩擦は右向きに働くってことですか？

軽いばねとは、ばね自身 SA できるばねのこ とである。 5. _とBの接 接の場合 ... るので ① もりの あいの式 00000000000000000~ かけ できる。 傾きの 度 一般に、 直列接続の場合 +++ を考える。 (2) (3) 重力を斜面方向の成 は常に力がつりあう。 NV-mgcos 6=0 ②より =-g (sin6+pcos 0)[m/s] 2 N 方向下向きを正 F = N 向きとすると, mg in 方程式は mg cose 15.. (1) (s) Bの質量をm[kg], A. Bの加速度の大 きさをα [m/s] とする。 N Bの加速度は重力 mg と張力 Tの合力に よって生じているので、運動方程式は may=mg-Ti よって Ti=m(gla) =2x(10-5)=10(N) WA T Mo A No.L <模擬試験、本試験でよくありがちな設定です> 16. 床の上に物体 A, B が乗っている。 AとBの質量をそれぞれ M, m [kg], 重力加速度の大きさを g 〔m/s2] とす <前問 m 17. 右の B M A 小物体 上に乗 の間の (b) Aの加速度は張力 T によって生じているので Ma、T、よりM-12 (kg) (2) (3) (1) と同様に、Bの運動方程式は (1)の場合、 A を水平方向左向 Na 引いて静止させたときに、 引く力の大きさを T, A. B 間の糸の張力の大きさを To る。 Aと床との間の摩擦は無視できる。 AとBとの間の静止摩擦係数をμ, 動摩擦係数をμ' とする。 AをカF [N] で水平に引く。 の間の mas-mg-T 25t Ti=m\g-as) -2x(10-4)-12(N) とすると, A, Bそれぞれの 力のつりあいより A: T-To=0 T B: T-mg-0 (b) Aの加速度は、張力T と動摩擦力F の 合力によって生じているので (1) F が小さいときは、静止摩擦のため AとBは一体になって運動する。 このときのAの加速度 α, B にはたらく摩擦力を求めよ。 与える。 (1) 小 Mg よって T=mg -2x10=20(N) Max-Tr-F よって FT-Ma=12-2×4=4(N) tmg つまり、引く力の大きさで" はBの重さに等しい。 (c) 水平面がAに及ぼしている垂直抗力の大きさをN [N] とする。 鉛直 方向の力のつりあいより N-Mg = 0 N=Mg=2×10=20 (N) F=Nの式より メード 0.2 (2)Fがある大きさ Fo を越えると, BはAの上ですべるようになるFを求 めよ。 (2) 板 - (3) 小 N (3)引FFより大きいとき, BはAの上ですべりだす。 このときの AおよびBの加速度 αA, B を求めよ。 てす 最 F=ma キニナ すべり出す直前のみ つかこるのが at= F m =Mag Fo=UN 床からの垂直抗力 ∫の 反作用 F-f A. B にはたらく力は図のようになる。 このときBがAの上ですべって いても一体となって運動していても、基本的に力は同じようにはたらい ている(ただしの大きさや静止摩擦力、動摩擦力のちがいはある)。 (1) A. Bは一体として運動 しているので, AとBの加 速度は等しく, ブは止 摩擦力である。 図よ り, A. B それぞれの運動 方程式は A 最大摩擦力ではない NO 反作用 Mg ので、f=μNとしてはいけ ない。 A: Ma=F-fa... ① B:ma=f&B4 ①+②より手を消去すると (M+m)a=F amm (m/s²) この結果を②式に代入すると M+m mF [N] f=mx+m+m (2)F=Fのとき、BはAに対してすべるかどうかの境い目にあるので、 JN (Nは物体Bにはたらく垂直抗力)の関係が成り立つ。 (1)の答え にこのことを代入すると ノmFe=uN=μmg M+m Fo-pl (M+m)g[N] (3)FF のとき, BはAの上をすべる。このときAB間にはたらく摩擦 カノは動摩擦力で B 物体AとBにはたら 力は互いに作用と反作 用の関係なので、 お互いが じ大きさである。このことは BがAの上で一体となってい でもすべっていても成り立つ 関係である。 C 物体Bの鉛直方向の つりあいより N-m=0 よって N=mg juN=pmg とBは別々の加速度 Ch, 4sで運動するので①と② を用いた。 # M =F.μlog Mg M

(2)が分かりません。5✖️2って何処から来ているのですか？ 3枚目の写真です。

20112 39. 1個のサイコロを3回投げるとき,次の確率を求めよ。 (1)2以下の目が1回だけ出る確率。 ↓ (2)出た目の最大値を M,最小値を m とするとき,M-m<2 となる確率 (法政大

矢印のところをどうやって変形しているのかが分かりません！

と)を確認したもので rienne P0ni S 100Conte 2 ある (2) も同様。 (2)において, y↑ y=0 とすると 0=0 また,O≧≦で xは減少し, y≧0で ある。 xと0の対応は次のよ うになる。 x 0 0 →1 π 2 ← x=cos40 より よって s=Soydx 0 0=0 1 dx=-4cos30sino do *2000+ sin¹0. (-4cos³0 sin 0) do .0 == = sin 50 cos³0 de sin0(1-sin20)coso do =4。 (sino - sin'0)cose do = 4√ (sin 50 - sin 70 ) (sin 0 )'de 4sin sin o 8 JO = 1 参考 cos20+ sin20=1より, (cos10)+(sin¹0)=1 であるから, 0 を消去すると √x +√y = 1 x A

どのように計算すれば良いか教えてください🙏🙏

172 問 94 無理関数の積分 精調 次の定積分の値を求めよ、 (2) x√1-x dx dz (3) Str +1dr (1)(2)はそっくりの形をしています. ともに√4-x が含まれてい あるので, 90(2)と同じようにやればできそうですが, はたして…... (3)は 87(2)と同じ感覚, すなわち, x+1=t, √x+1=t, vx+1+1= などが通用するのでしょうか? 解答 (1) dr において,r=2sin0 とおくと π x:02 のとき, 0:0→ 2 このとき,r=4sin20,√4-2=2|cos | 90 (2) 007 のとき,COSO≧0 だから, |coso|=cos0 また, dx de π =2cos0 より dx=2cosodo f 24 sin20.2 cos 0.2 cose de =16* sin²0 cos²0 do π 4/2sin 26d0=22 (1-cos40) de -28-+ sin 40]= 1 =π [√4-2'³dz=-*(4*) (4-2)dr 88 (2)

三角関数です この問題の(3)で、 解答の2ページ目の最初の式の分母 1/2(ab+bc+ac)が、なぜsin(π-2a)+sina+sinbになるのかが分かりません。 どなたか教えて下さい！お願いします。

48 ・VII 三角比三角関数 144 半径1の円に内接する △ABC において,∠A=α,∠B=β, ∠C=yとす る。 (1) △ABC の面積Sを sina, sin β, siny を用いて表せ。 ② α= のとき,Sがとりうる最大の値を求めよ。 (3) α=β のとき,△ABC の内接円の半径がとりうる最大の値を求めよ。 〔23 香川大〕

三角関数の問題です！！ (3)なのですが、解答の矢印のところが、なぜこうなるのか分かりません。 省略されている式変形を教えて頂きたいです！ よろしくお願いします。

*141 三角形 ABC において ∠A=A, ∠B=B, ∠C=C とする。 (1) cos 2A + cos 2B=2cos (A+B) cos (A-B) が成り立つことを示せ。 (2 1-cos 2A-cos 2B+cos 2C=4sin Asin B cosC が成り立つことを示せ。 ③ A=B のとき, 1-cos 2A-cos 2B+cos2C の最小値を求めよ。 • [23 滋賀大 データサイエンス]

赤線の部分の計算結果おかしくないですか？ 4s+8t-4になると思うのですが。

第2章 空間のベクトル 例題133点A(2,0,0),B(0, 1, 0), (0, 0, -2)の定める平面 ABCに、 原点0から垂線 OH を下ろす。 このとき, 点 H の座標と線分 OH の 長さを求めよ。 針 Hが3点A, B, C の定める平面 ABC上にある→ AH=sAB+tAC (s, tは実数) とおけるから OH=(1-s-t)OA+sOB+tOC ここで, OH⊥AB, OH⊥AC から s, tの値を求める。 答 Hは平面 ABC 上にあるから, AH = sAB + tAC となる実数 s, t がある。 よってOH=OA+AH=OA+s(OB-OA)+t(OC-OA) =(1-s-t) OA+SOBOC =(2-2s-2t, s, -2t) ① OH (平面 ABC) であるから, OHはABとACの両方に垂直である。 ここで AB= (-2,1,0), AC = (-2,0,-2) OH⊥AB より, OH AB=0 であるから ゆえに 5s+4t-4=0 ② OHAC より OH AC = 0 であるから -2(2-2s-2t)+s=0 する球面 中 -2(2-2s-2t)+4t=0 ゆえに s + 2t-1=0 ..... ③ ② ③ を解いて s=1/11/ S= 2 3' よって、 ①から OH-(1-1) 2 18. (ky, F 3'3 いう。 ゆえに、Hの座標は (1-1) 2 答 3 また OH= 3 (1)+(2)+(-12) 3 = √6 3 答

4STEP 平方完成 134 学校で画像の二枚目のような裏技を教えてもらったのですが、なぜか(4)だけ解けません。 私の計算ミスなのでしょうか…？それとも分数には応用できない裏技なのでしょうか。 ちなみに答えは 3分の1(x-2)²＋1 です。

□ 134 次の2次式を平方完成せよ。 (1)x2-4x+7 *(2) 7 (5) 3