Ban+1=pan+g型の漸化式は
p,qは定数でp≠1,g ≠ 0 とする.
漸化式 an+1= pan+g (n=1, 2, 3, ...) を満たす
数列{an}の一般項を求めるには, 等式c=pc+g を
満たす c を用いて, 漸化式を
を満たすとき, 数列{an}の一般項an を求めよう.
方程式c=3c-4の解はc=2であるから, 2=3・2-4.
an+1-c=p(an-c) goul
の形に変形し, 数列{an-c} が公比力の等比数列であることを利用すればよい。
例4 数列{an}が
a₁ = 6, an+1=3an-4(n=1, 2,3,...)
an+1=3an-4
2=3･2-4
an+1−2=3(an-2)
問4 数列{an}が
よって,数列{an}の一般項は,
an+1=
pan+q
c=pC+q
an+1-C=
n=4.3"-1+2.
=p(an-c)
したがって, 数列{an-2} は初項α1-24,公比3の等比数列であるから,
1.22-19 (al (08.1984
an-2=4.3-1
Can+1 = pan+gr” 型の漸化式
p,g,r は定数で p≠1, r≠ 0 とする。
漸化式 an+1= pan+gor" (n=1,2,3,...) を満たす数列{an}の一般項を求め
an
るには,辺々を7+1で割り, bm=- (n=1, 2,3,...) とおいてみるのが1つの方
法である.
例えば,数列{an}が
を満たすとする.
与えられた漸化式の両辺を 4" +1 で割ると,
であるから,
α=1, an+1=5an+4" (n=1, 2,3,...)
とおくと,
an+1 5 an 1
4"+1
44"
bm=
an
+
4
bass=3 / ba + 1/2
となる.
これは B でみた漸化式と同様に考えることができるから, B でみた変形をするこ
とにより, 数列{bn}の一般項 6. を求めることができる. そのあとは
an=4"bn
