基本 例題
同じ平面上にあることの証明
「四面体 OABCの辺0A, AB, BC を12に内分する点をそれぞれP,Q,Rと
し,辺OCを18に内分する点をSとする。このとき, 4点P,Q,R,Sは同
じ平面上にあることを示せ。
指針
OB
p.104 基本事項 3 基本 67
4点P,Q,R, S が同じ平面上にあることを示すには、次の [1], [2] のいずれかが成り
立つことを示す。
? [1] PS=sPQ+tPR となる実数s, t がある。
[2] OS = sOp+tOQ+uOR,s+t+u=1となる実数 s, t, uがある。
解答 1. OA=d, OB=1, OC = とすると
2章
<[1] を用いる解法。
答
PQ=0Q-OP=
2a+1.6
1→
-S
1+2
P
26+1.c
PR=OR-OP-
=
a=- a+
1+2
131
PS=OS-OP=1/22-12/30-1/31+1/22
PS = sPQ+tPR とすると
a=―
a+
C
9
Q
R
B
9位置ベクトル
1→
a+
a+
3
++1(+16)+(+8+)
S-
よって1/31+1/i= (1/28-1/2)+(1/38+//+/1/31
la+
tc
右辺を
の形に。
a+b+c
4点 0, A, B, Cは同じ平面上にないから
00 AO
-40
1
1
2
1
からであ
S-
①,
-t=0... ②,
s+
③
3 3
3
係数を比較。
3
3.
3
3019+AO
2
② ③から
S=―
t=
PS=sPQ+tPR を満た
3'
そ
OKO
=-1/31/13 これは ①を満たす。
したがって, 4点 P Q R S は同じ平面上にある。
解答 2. OS=sOP + tOQ+uOR とすると++
T
1½c=s. 11a+t.
2a+b
26+c
+t⋅
+u
st
2
3
u
t+
す実数s, tがある。
[2] を用いる解法。
19
4点 0, A,B,C は同じ平面上にないから 1/13s+/1/31=0, 1/34/4=0, //= 1/30
2
2
st
t=
3
ゆえに s = 1/3.1=-1/23.
4
3'
2
3'
1
u=
これはs+t+u=1 を満たす。
3
したがって, 4点P,Q,R, S は同じ平面上にある。
