5 三角形の面積―
(関大・総情/一部省略)
放物線y=x 上に3点A(-1, 1),B(2, 4), P(p,p) をとる. ただし, -1<p<2とする
△ABP の面積の最大値およびそのときのかの値を求めよ.
△OPQ の面積
(証明) Zは,y=(bla)x
|ad-bc|
図のんは,h=-
右図の△OPQの面積Sは, S=
3
√a² +6²
3頂点とも原点でないときは,1頂点が原点となるように平
△ABCの面積
行移動すれば,上記の公式が使える. ベクトルを用いて公式化すると,
B'(3, 3), P'(p+1, p²-1)
:: ay-br=0(a=0のときもこれでよい)
S=1/12 OP.h=1/2/lad-bel
AB=(g), AC=(c) のとき,
となる. [ △ABC≡△OPQ であるから]
■解答量
△ABP を, Aが原点Oに一致するように平行移動
してOB'になるとすると
のとき, △ABC=/| ad-be |
△ABC=
△ABP の面積をSとすると,
S=AOB'P'=-
1/12/13(-1)-3(p+1) |
= 210²-0-21= 32 (0-1) ²2/1
|p-p-2|=
S=1/2/lad-bcl(公式)である。
3 [9
²2 ( ²1 - (0-²) ² (: -1 < p <2)
2
1
よって, p=/12 のとき、最大値 39 27
..
24
8
【別解】(面積最大を図形的に
をとる.
12/2 lad-bel (公式)
(公式)
4
A 1
-10
B
P
P 2 x
YA
0
A
←AB = (23)
Q(c,d)
BR-) BOSUT-1
P(a,b)
x軸方向に +1,y 軸方向に-1
BB′: (2+1, 4-1)=(3,3)
ベクトルを習った後は,
=(3) Ap=(b+1.
AP
B
として, 上で述べた公式を使おう.
y=p-p-2のグラフは下図.
1
2
2 p
