第2問 (必答問題) (配点 15
太郎さんは、ボールをゴールに蹴り込むゲー
ムに参加した。
そのゲームは、 右の図1のように地点 0か
ら地点Dに向かって転がしたボールを線分
OD上の1点からゴールに向かって蹴り 地点
Aから地点Bまでの範囲にボールが飛び込んだ
とき,ゴールしたことにするというものであっ
B
3m
ル
ボールが転がされ、
ボールを蹴るライン
A
3mi
2m
0
9m
図1
た。 ただし, ボールは点とみなし, 大きさは考えないものとする。
そこで太郎さんは, どの位置から蹴るとゴールしやすいかを考えることにした。
地点を通り,直線ABに垂直な直線上に, AB // CD となるように点Cをとる。
さらに,太郎さんは, 0を原点とし、 座標軸を0からCの方向をx軸の正の方向、
OからBの方向をy軸の正の方向となるようにとり, 点Pの位置でボールを蹴るこ
とを図2のように座標平面上に表した。
B.
(5.0) B4
(2.0) A
0
図2
このとき 2点A, B の座標はA(0, 2), B(0, 5), ボールを蹴るラインを表す直
太郎さんは、最もゴールしやすいのは、 APBの大きさが最大になる地点Pであ
ると考えた。
「レーの
∠APBの大きさが最大となる点Pの座標を求めよう。
ア
イ
(0<x9) とし、 図2のように, 2直線AP, BP とx軸の正の
向きとのなす角をそれぞれα, βとする。
この
である。
クリー
x- ウ
x-
エオ
tana=
tanβ=
イ
イ 1x
<APB=a-B と表され、∠APBがらになることはないから,tan (e-β)を考え
ることができる。
カキx
tan (α-β)=
となり,
ケー コサx+ シス
常にクケコサx+
シス >0であるから, 0x9のとき, tan (α-β) > 0
である。
0
カキ
さらに, tan (β)=
と変形でき, 0<x≦9の範囲で
シス
タケ x+
コサ
x
シス
タケ x+
は最小値 センをとる
x
ア
線 OD の方程式はy=
x と表すことができる。
イ
(数学Ⅱ, 数学 B 数学C第2問は次ページに続く。)
(第3回-5)
以上のことから、点Pのx座標が タ のとき, ∠APBの大きさは最大である
ことがわかる。
(第3回-6)
