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12 不等式の証明/ABA-B≧0
a, b, e を正の実数とする. X=
3a+b
3b+c
3c+a
Y=
Z=
a+3b'
b+3c'
c+3a
について次の問いに答えなさい。
3
(1) 1/12 <X<3 を証明しなさい。
(2) X,Y,Zのうち、少なくともひとつは1以上であることを証明しなさい。
(3) <X+Y+Z<7 を証明しなさい。
5
3
差が0以上を示す
(明治学院大径社法)
A. Bがェの式として, A2Bを示すことを考えてみよう。このとき
A-B20 を示すのが1つの定石である。 AとBを合流させることによって式変形の仕方の可能性が高
まるし、目標が0以上を示すことになるので、式変形の方針も定め易くなる.例えば,平方完成をして
(実数)+(実数)の形を導いたり。 因数分解をして (正の数)×(正の数) の形を導いたりすればよい。
■解答■
(1) x-1
=
3a+b 1 3(3a+b)-(a+3b)
a+3b 3
3(a+3b)
3a+b
a+3b
3-X=3-
よって、1/32<x<3
8a
3(a+3b)
>0
8b
→0
a+3b
a+3b
3Ca+3b)-(3a+b)
a b は正の実数
X7.299 3/776
← (2-0)za) (2+)=0
83000
3a+b
(2) X-1=
3a+b-(a+36)
--l=
2(a-b)
a+3b
a+3b
a+3b
すべての
同様にして, Y-1-
2(b-c)
Z-16 2(c-a)
6+3c
分子の正
c+3a
a,b,cのうちでαが最大のとき,bであるから X21 (a-b>0)
a. b c のうちでもが最大のとき, beであるから 21 )
a,b,cのうちでcが最大のとき, c2aであるからZ21 (0-1)
したがって, X, Y, Zのうち, 少なくともひとつは1以上である。
(3) (1)により, 1/32<x<3, 1/3 <<3, 1/32 <Z<3が成り立つ。
これ以降, 背理法を用いてもよい
X <1 かつY <1 かつて<1と仮
定すると,
a<bかつb<cかつ <a
が成り立つ。
a<bかつb<cのときa<cと
なるが,これはに矛盾する
X21のときは,Y/1/32 1/3 とから、X+Y+Z>1+
1 1 5
+
Y, Zについても Xにおいて文
字を入れ換えただけだから, Xと
同様の不等式が成り立つ。
3 3 3
Y≧1, Z≧1のときも同様である。
また,ab.cのうちの最小のものに着目すれば(2)と同様にして,X,Y,Zの与式の左は 11/13
うち、少なくともひとつは1以下であることが分かる.
X1のときは,Y <3, Z <3 とから,X+Y+Z<1+3+3=7
+1から出
てきた。 右辺の7は, 3+3+1 か
ら出てくることに着目、
Zのときも同様である。
12 演習題(解答は p.28)
(1)400のとき、不等式+2b+ab2 を証明せよ。また、等号が成り立つ
のはどのようなときか
(2) a,bを実数とする。不等式+1+12√(a-1)2+(6-1)を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか
(2)
0以上なので
(左)(右)20を
( 東北学院大)
示せばよい。
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