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重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 200000
媒介変数 t によって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
YA
76130
基本 16
CHART & SOLUTION
基本例題 156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが,
この問題ではの変化が単調でないところがある。
y
12
右の図のように, t=0 のときの点をA, x座標が最大とな
S
る点を B (t=t で x 座標が最大値 x=x になるとする),C
t=πのときの点をCとする。
A
B
-3
0 1 A
I
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり,
x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。
したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を とすると, 求め
る面積Sは
t=0
0-to
曲線が往復
している区間
S=Sdx-vidx
と表される。
よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。
また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。
x203-
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
図から,0≦t≦では常に
y≥0
また
=2sint(1-cost)
よって, y=0 とすると
sint=0 または cost=1
0≤t≤ 5 t=0, π
次に, x=2cost-cos 2t から
dx
=-2sint+2sin2t
dt
loga
nia)
inf strのとき
sint≧0, cost ≦1 から
y=2sint(1-cost)≧0
としても,y≧0 がわかる。
=-2sint+2(2sint cost)
L
30
=2sint(2cost-1)
0<t<πにおいて
dx = 0 とすると, sint>0で
dt
あるから
t
0
cost=-
ゆえに
t="
dx
+
よって、xの値の増減は右の表のようになる。
x
3
1
