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要 例題 43
虚数を係数とする 2次方程式
00000]
xの方程式(1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように,実数k
の値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。
CHART & SOLUTION
2次方程式の解の判別
(x-6)=(+x)([+x) (£)
ひとすると
基本 38
73
判別式は係数が実数のときに限る
DOから求めようとするのは完全な誤り(下の INFORMATION 参照)。(ど)。
実数解をαとすると (1+i)μ2+(k+i)a+3+3ki=0
RBORONE
ns-e+x(S-D) (1)
2章
6
この左辺をa+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により (1)
a=0, 6=0 α, kの連立方程式が得られる。
る。
....
解答
NEDOZEURS-50-DE) to (S)
方程式の実数解をα とすると
整理して
(1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
(a2+ka+3)+(α2+α+3k)i=0
x=α を代入する。
a+bi=0 の形に整理。
α kは実数であるから, a2+ka+3, a2+α+3k も実数。この断り書きは重要。
よって
①② から
ゆえに
よって
Q2+ka+3=0
_Q2+α+3k=0 ...... 2
(k-1)a-3(k-1)=0
(k-1)(a-3)=0
複素数の相等。
← α を消去。
infk を消去すると
k=1 または α=30= (L-n) + α-22-9=0 が得られ,
[1] k=1のとき
① ② はともに α2+α+3=0 となる。
因数定理 (p.87 基本事項 2 )
を利用すれば解くことがで
きる。
これを満たす実数 αは存在しないから、不適
[2] α=3 のとき
① ② はともに 12+3k=0 となる。
ゆえに k=-4
RS
←D=12-4・1・3=-11<0
①:32+3k+3 = 0
②:32+3+3k=0
[1] [2] から求めるkの値はk=-46
実数解は
x=3
2次方程式の解と判別式
INFORMATION
2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる
のは a, b c が実数のときに限る。
例えば, α=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix'+x=0の解
はx=0, i であり、 異なる2つの実数解をもたない (p.85 STEP UP 参照)。
PRACTICE 43°
0-6040-0
の方程式 (1+i)x²+(k-i)x-(k-1+2)=0 実数解をもつ
#th to a litt
