e=1+
n=1 n!
127
考え方
n+1°
(2)00 のとき,
0≤tan≤1
(√ f'(x) dx=log|f(x)| + C.
であるから,
(Cは積分定数)
tan" ≥tan'
とき 0≦tan0≦1 である
4
から,
(3)(2)より,
tan"≥tan n+1
0.
*tan" o dofta
0.
n+1
tan' odo.
In≥ In+1.
In\In+In+2
+1
n+1
一般に,
21n+2≤In+In+2≤21.
a≤x≤bt
= f(x) dx ≤9(x) dx.
f(x)≤g(x)
=>
(1)より,
21m+ 2 SS21m.
n+1
(3)(1),(2)よりハサミウチの原理を考える.
右側の不等式より,
解答
(1) (E)
n
≤nIn.
...②
2(n+1)
(1)
左側の不等式より,
=*tano do
=[-log | cos 01]
=
-log-
1
1/
-log 2.
In+In+2= (tan" 0+tan" +20) de
(1+tan20)tan" de
-fa
4
=
1
COS
tan" de...①I
π
4
n+1
-tan'
n+1
1
n+1°
[注] tant とおくと,
(n+2) In+2- n+2
よって,
n
nIn≤
2(n-1)*
2(n+1)*
(n=3, 4, 5, .)
..),
・③
②、③より, n≧3 のとき,
2(n+1)
n
n
-≤nIn≤
2(n-1)'
n
1
lim-
-=lim-
n→∞
2(n+1)
12100
1
21+
n
1
=lim
12-00
1--
n.
1-2
1-2
17
lim-
22100
n
2(n-1
n-1)
であるから,
lim nIn=
12100
1
d0= dt.
COS²
D=ft" dt
n+
π
0
0 →
4
t
0
->
1
128 考え方
(1)
In+1=x+1(e)'dx.
(2)0 <In+1<In を示して, (1) を用いる.
(3)(2)の不等式を利用する.
