基本 例題106 数列の極限 (5)
はさみう
nはn23の整数とする。
1
基本 105
(2) lim
カ→ 27
の値を求めよ。
指針> (1) 2"==(1+1)"とみて, 二項定理 を用いる。
(a+b)"=a"+,Cia"-'6+,C.a"-*が+…………+.Cn-1Cb"-1+6"
(2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題105同様, はさみうちの原理 を用
る。(1)で示した不等式も利用。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1) n23のとき
2"=(1+1)"=1+»Ci+»C2+…++Cn-1+1
An=1, 2の場合も不等三
成り立つ。
21+n+-n(nー1)4-n(n-1)(nー2)
42"21+,Ci+,Ca+»Ca
(等号成立は n=3のと
1
,3
よって
27>
6
1各辺の逆数をとる。
(2) (1)の結果から
0<
27
n? 6
各辺にn?(>0) を掛
よって
0<
く
27
n
2
6
lim =0 であるから
カー n
lim-
-3D0
くはさみうちの原理。
7 0-4
検討)はさみうちの原理と二項定理
はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように, 二項
用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておくと
x20のとき
(1+x)"21+nx,
1
(1+x)"21+nx+号n(n-1)x
2
V
