基本例題 103 漸化式の基本 pand 0 000①①
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
(2) a1=2, an+1=3an
(1) a1=4, an+1=an+5
(3) a1=1, an+1=an+4"
CHART
OLUTION
漸化式の基本 漸化式からどのような数列かを考える
基本的な漸化式には次の3つのパターンがある。
an+1=an+d (dは定数) 公差d の 等差数列。
公比rの等比数列。
(2) an+1=ran (rは定数)
③ an+1=an+f(n)(f(n)はnの式)
よって, n≧2のとき
n-1
→
(1)an+1-αn=5 より,数列{an} は初項 α = 4, 公差 5 の等差
数列であるから
an=4+(n-1)・5=5n-1
(2)an+1=3an より, 数列{an} は初項 α1=2, 公比3の等比数
列であるから
an=2.3n-1
bn=f(n) とすると, {bn} は, {an}の階差数列。
n-1
よって,n≧2 のとき an=a+bk を利用して an を求める。
(3)an+1-αz=4”より, 数列{an}の階差数列{bn} とすると
bn=an+1-an=4n
したがって
-
MOITUTO
k=1
k=1
n-1
An=A₁+ [bk=1+ [4²=1+4(4″−¹−1)
4-1
=1+1/12 (4-1-1)=1/12 (4^-1).
3
an
k=1
n=1 とすると
11/13(4-1)=1
=1であるから ① は n=1のときにも成り立つ。
|p.494 基本事項 1
SIL
an=a+(n-1)d
← an = arn-1
◆階差数列の一般項はす
ぐわかる。
(*) {=1−}=1−5=S=_d
inf. (*) で n=2, 3 とすると az=5, a3= 21 また, 漸化式からa2=a1+4=5,
Q=a2+4=21 となり,一致する。
このように, n=2, 3 などで検算をするとよい。
495
n-1
Σ4は初項4,公比 4,
k=1
項数n-1の等比数列の
和。
初項は特別扱い。
3>831-33
[+ ¯"S-E=1+₂0=.0
3章
13
漸化式
