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cos∠IBP=1/26なのであって、cos∠ABC=1/26ではないのでこれは使えません。ここは面積から考えます。
(BCを底辺とした△ABCの面積)=(内接円を利用した△ABCの面積)
1/2×6×√(x²-3²)=1/2×2×(6+x+x)………(＊)
3√(x²-9)=2x+6
9(x²-9)=(2x+6)²
5x²-24x-117=0
(5x-39)(x+3)=0
x=-3,39/5
x>3よりx=39/5………(＊＊)
(＊)左辺の高さの部分をAHとすると、HはBCの中点(∵AB=AC)なので、AH=√(x²-CH²)=√(x²-3²)
(＊＊)△ABCの成立条件はx+x>6
もしその図が正しいとしましょう。
その場合、BQは△BIPの垂直二等分線ということになります(二等辺三角形ですからね)。ということは、点QはIPの中点になっています。IP=5と言われているので、IQ=5/2となります。
一方、IQは内接円の半径でもあり、内接円の半径は2です。……IQの値が一致しませんね？
どこで間違ったかと言うと、IPとABが垂直に交わるという部分です。これらは垂直に交わらず、実際の図は写真のようになります。
それからx>3の方ですが、三角形が三角形として存在するためには、2辺の長さの和が残りの1辺よりも大きくなければならないということを言っています。例えばx=2とすると、長さが2,2,6の三角形を作ってくださいと言われても無理ですよね？そうならないための条件です。
たしかに半径を考えたらIPの半分の5/2と一致しませんね！！！理解できました！！
そして「三角形が三角形として存在するためには、2辺の長さの和が残りの1辺よりも大きくなければならない」も分かりました！！！これまで意識してなかったので確かに！！！！！！ってなりました！ありがとうございます！！要するに、2辺の長さと底辺の長さが一緒だったらぺったんこの直線になってしまうし、2辺の方が長かったらもう図形ではありえない感じになってしまうみたいな感じですよね！！
丁寧にありがとうございます！えだかさんの解法は理解できました！
ですが、最初の自分のやり方が使えない理由がイマイチ理解できてません…
△IBPってBI＝BPの二等辺三角形じゃないですか、(図に書き込んでみたんですけど、)だから∠ QBP＝∠ QBI
QB＝HBも等しいから∠ QBI= ∠HBIになると思ってました。
それで∠ IBPと∠ABCになるって考えたのですがこれは無茶苦茶な考えなんですかね…？？
あと下から3行目のx>3って何でですか？何となくはわかる気がするんですが一応聞いておきたいです、！
遅くなってすみませんお願いします🙇♀️