（1）（b）についてです。 この運動はなぜ単振動をしているとみなせるんですか？θ0が十分に小さい→z座標が変化しない ってことですか？

1. 〈半塚内での物体の円運動〉 内半径R の半球が,図1のように切り口を水平にして固定 されている。 座標軸は、 半球の中心を原点とし, z軸を鉛直 方向に, xy平面を半球の切り口にとる。 この半球の内面に接 して運動する質量 mの小球について考える。ただし,小球と 半球の内面との間の摩擦および小球の大きさは無視できるもの とする。重力加速度の大きさをとして,次の問いに答えよ。 (1) 図2のように、小球が半球の内面に接して xz 平面内を運動 する場合を考える。 (a)z軸となす角度が 9 の位置から小球を静かにはなすとき, 角度0の位置における小球の速さひおよび加速度の進行 方向成分αの大きさを,R,m,g, 0, 0 の中から必要な ものを用いて表せ。 (b) 0 が十分小さいとき 往復運動の周期 T を R,m, gの 中から必要なものを用いて表せ。 なお、この場合, sin0≒0 が成りたっているものとする。 x 小球 om |半球 図 1 AZ R R 0 x 00 m 図2

加法定理の問題なんですけど全くわかりません 一枚目のオレンジで囲ってるところがなぜそうなるのか理解出来ないのでそれ以降の書いてることも全くわかりません。どうやって導きますか？

基本 例題 153 点の回転 00000 点P(3,1)を,点A(1,4)を中心としてだけ回転させた点をQとする。 (1)点Aが原点Oに移るような平行移動により, 点Pが点P'に移るとする 指針 点P(x, y) を, 原点0を中心として0だけ回転させた点を COS=X siney Q(x, y) とする。 点P'を原点Oを中心としてだけ回転させた点Qの座標を求めよ。 (2)点Qの座標を求めよ .241 基本 y Q(rcos(a+6). rsin(+6) 解答 OP=rとし, 動径 OP と x 軸の正の向きとのなす角をα と すると x=rcosa, y=rsina OQ=rで,動径OQとx軸の正の向きとのなす角を考える 一化 Z r a 0 と、加法定理により大きくなっひなるので x=rcos(a+b)=rcosacoso-rsinasino =xocoso-yosin A y=rsin(a+b)=rsinacos0+rcosasino =yocos0+xosin O y軸に近づく P (rcosa, rsina) この問題では、回転の中心が原点ではないから,上のことを直接使うわけにはいかな 3点P, A, Qを, 回転の中心である点が原点に移るように平行移動して考える。 (1) 原点0に移るような平行移動により, 点Pは点 x軸方向に-1 P' (2, -3) に移る。 次に,点 Q'′ の座標を (x,y)とする。 また OR 方向に4だけ平

下線部についてなんですけどなんでf(-x)がf(x)ってわかったんですか?😭

(2) Sxexdx p.208 基本事項 2 基本 例題 131 • 偶関数 奇関数の定積分 次の定積分を求めよ。 (1) SEE COS cosxdx CHART & SOLUTION a SDの定積分 偶関数は2,奇数は 0 偶関数 f(x)=f(x) : グラフは軸対称 奇関数 f(x)=f(x): グラフは原点対称 解答 |(1) y=cos'x のグラフは y軸対称。 YA (1) f(x) =cosx とすると f(x)=cos^(-x)=cos'x=f(x) よって、f(x)は偶関数である。I=cos'xdx とすると 2 π I=2 =2fpcosxdx=2S (1-sinx) cosxdx sinx=t とおくと cosxdx=dt xtの対応は右のようになる。 π XC 0 2 ゆえに1=2d=21-1] t 0 =2(1-1)=1 4 別解 3 (解答の3行目までは同じ。) 3倍角の公式から -π 2 1 TC TX

なぜt>0とわかるのですか？

84 重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の 点 Q を,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。 (A) OP・OQ=4 |点Pが直線x=1上を動くとき, 点 Qの軌跡を求めて、図示せよ。 [類 大阪市大 (B)Qは,Oに関してPと同じ側にある。 基本110 運動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く 指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。 P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P Qの関係は 点Qが半直線 OP 上にある⇒X=tx, Y=ty となる正の実数tが存在する このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yをx, yの式で表す。 そして、点Pに関 する条件 X=1より,x,yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。 B 点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。 解答 Qは直線 OP上の点であるから Q(x, y) P(X, Y) X=tx, Y=ty (tは実数) ただし,点Pは原点と異なるから t≠0, (x, y)≠(0, 0) 更に, (B) から, t> 0 である。 (A)から √x²+ y²√(tx)²+(ty)²=4 ゆえに t(x2+y2)=4 よって t=- x+ye 4x したがって X=- Y=- x2+y2. を消去する。 x2+y2 (−1)=0. 点Pは直線x=1上を動くから 2 4x x+y=1s(1S)AX=1に X=x2+y^ 4x を ゆえに よって x2+y2-4x=0 (x-2)+y2=4 代入する 50-m-(1-)+1+ したがって, 求める軌跡は 中心が点 (2,0), 半径が20円。 0 12 14 ただし, (x,y)≠(0,0)である T から,原点は除く。 注意 本間は、反転の問題 -2 である。 反転については, 図示すると,右図のようになる。交=g0g 次ページ参照。」 ceal.c:

この問題の最後から2行目なんですが 奇関数であるからなぜ＝0になるのか分かりません。 奇関数の定義がわかってないのかもしれないですが教えて欲しいです🙇‍♀️

142. <3次関数のグラフの対称性〉 a,b,cを定数とする。 3 次関数 f(x)=x+ax²+bx+c がx=- 5 極値をとり, 極大値と極小値の和が- =1/2x=1/12 とで 2 であるとき,a=,b=,c="□ である。 次に、この関数 y=f(x) のグラフをx軸方向に, y 軸方向にだけ平行移 動すると,そのグラフは原点Oに関して対称になる。 1143. <図形と最大値・最小値〉 [22 立命館大・文系]

この問題文のように「原点を通る球面」と書いている時原点が球の内部か球の周上にあるのかどっちですか

基本 例題 78 球面と平面が交わってできる円 中心点 (1,3, 2) で, 原点を通る球面をSとする。かん 1. 00000 (1)Sとyz 平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。 (2) Sと平面z=kの交わりが半径50円になるという。kの値を求めよ。 基本 76 原点を通る球面Sの半径は,中心と原点との距離に等しい。 このことを利用して、 ま 指針 ずSの方程式を求める。 (1) 切り口は yz 平面, すなわち方程式 x=0で表される平面との共通部分であるか 球面Sの方程式にx=0を代入すると、切り口の図形の方程式が得られる。 (2) 平面 z=kとの交わりであるから, 球面Sの方程式にz=kを代入する。 交わりの図形(円) の方程式に注目して半径をkで表し,kの方程式に帰着。 注意 図形の方程式に, (1) x=0, (2) z=kを書き忘れないように。 CHART 球面と平面□=kの交わりは,□=kとおいた円 ?)と原点との距離検討

読んでも理解できなかったので、詳しく解説していただきたいです。

が1次禁止 ⑩S(2) 検討 看樹 a + to の最小値の図形的な意味 上の例題において, 0を原点とし, a=OA, = OB, YA p = a +t=OP とする。 18701 B 実数 tの値が変化するとき, 点P は, 点Aを通りに平行な直できる。 線l上を動く。← p.415 基本事項1 ①参照。 P したがって, |=|a+t6 |=|OP | が最小になるのは, OP⊥l の to a 1 P.362 ときである。 すなわち, 点Pが, 原点 0 から直線lに下ろした8- A 垂線と直線lの交点 Hに一致するときであり,このとき, O 1 2 3 X H で OH=1(最小値) となる。すなわち、キリ ( のとお

この問題解説のようではなくて、紙に書いた方法で解けますか？解答見ずにやったら詰まってしまいました

のとき 手に一致 111 基本 例話 65 垂線の足, 線対称な点の座標 2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線をとする 1点C(2,3,3)から直線に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。 (2)直線lに関して,点Cと対称な点の座標を求めよ。 基本63 指針 点 を利用する。 注意 (1) AH=kAB(kは実数) から CH を成分で表し, ABICH 垂直 (内積) = 0 となる実数がある。 は直線AB上⇔A□=kAB O 点Cから直線 l に下ろした垂線の足とは,下ろした 垂線と直線lとの交点のこと。 A B H (2) 線分 CD の中点が点Hであることに注目し, (1) の結果を利用する。 D 解答 (1)点Hは直線AB 上にあるから, AH=kAB となる実 数がある。 よって CH=CA+AH=CA+kAB TRAH 2 2章 =(-5,-4,-2)+k(2, 1, -1) =(2k-5,k-4,-k-2) (*) ゆえに ABCH より AB・CH = 0 であるから 2(2k-5)+(k-4)-(-k-2)=0 k=2 このとき, 0を原点とすると OH=OC+CH=(2, 3, 3)+(-1,-2,-4) 80-1200 CA=(-5, -4, -2) AB=(2, 1, -1) =20 a46k-12=0 E=OT 1002 <k=2を(*)に代入して =(1, 1, -1) したがって,点Hの座標は (1, 1, -1) (2) OD=OC+CD=OC+2CH したがって, 点Dの座標は(0-1-5) CHを求める。 OD=OH+HD =(2, 3, 3)+2(-1,-2,-4)=(0, -1, -5)から =OH+CH から求めてもよい。 200-1=TO と 正射影ベクトルの利用 目 (1) は, 正射影ベクトル (p.57 参照) を用いて,次のように解くこともできる。 討 AB=(2, 1, -1), AC=(542) であるから ゆえに AC・AB AH=AC AB ABI² =1/2AB=2AB OH=OA+AH=OA+2AB ACAB=5×2+4×1+2× |AB=2+12+(-1)=6 C =(-3,-1,1)+2(2, 1, -1)=(1, 1, -1)

(3)について質問です。 赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

礎問 11 極方程式 (Ⅲ) zy 平面上に2点A(a,0),B(-a, 0) (a>0) が与えられているとき、 次の問いに答えよ. (1)P(x, y) が PA・PB=α をみたすとき,, yの関係式を求めよ。 (2) 原点を極, x軸の正の部分を始線とする極座標を考えるとき,(1)に おける点Pが描く曲線の極方程式を求めよ. (3)(1) で求めたPの軌跡は'+y'≦2a2 が表す領域に含まれることを 示せ.

(2)について質問です。 この問題において、Aを極とした意味は何なのでしょうか？🙇🏻‍♀️ 原点を極とした時と答えは変わりますか？ お願いいたします🙏

12 極方程式 (IV) 次の問いに答えよ. (1)直交座標において,点A(√3,0)と直線L:エ= 1/3 からの距離の 比が3:2である点P(x, y) の軌跡を求めよ. (2) (1)におけるAを極, x軸の正の部分を始線とする極座標を定める. このとき,Pの軌跡をr=f(0) の形で表せ. ただし, 0≦0<2π, r>0 とする. (3) Aを通る任意の直線と (1) で求めた曲線との交点を R, Q とするとき, 1 QA +RAは一定であることを示せ.