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(5)関
例題 39 合成関数
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2
(1) f(x)=3x+1,g(x)=2x2-2,h(x)=-
x-1
のとき,次の合成関数
を求めよ.
(ア) (f°g)(x)
(イ) ((f°g)h)(x)
2 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4がある.(hof) (x)=g(x) となる関
数h(x) を求めよ.
考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう。(2)
(1) (イ) ((f°g)h)(x)は, fg=F と考えると
(Foh)(x)=F(h(x)) となる.
(2)y=f(x)とおいて,yを上手く利用する.
つまり、 (hof) (x)=h(f(x))=h(y) となる.
(または,右のようにf(x)の逆関数f'(x)
を用いて考えてもよい)
OO
h?
h?
6
解答
(1) (ア) (f°g)(x)=f(g(x))=f(2x2-2)
=3(2x-2)+1=6x-5
(イ) ((f°g)h) (x)= (f°g)(h(x))
(1) gol
£2 (14+)=x (s)
2
2 2
=
°g)
=60
x-1 (x-1)
-5=-
24+
(x-1)
<-5
(2)y=f(x)とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y)
したがって, (hf) (x)=g(x) より
(y)=g(x)=3x4 ①
(f°g)(x) は(ア)の結
果を利用する.
y=f(x) とおいて,
まずん (y) を求める.
をxの式で表
ん(y)
h:y3y-10
ま
また,y=f(x)=x+2 より
x=y-2
as
す。
これを①に代入すると,h(y)=3(y-2)4=3y-10
よって,h(x)=3x-10
(別解) f(x)=x+2 より, f'(x)=x-2
(hf(x)=g(x) より
h(x)=(gof-1)(x)=g(f(x))
=3(x-2)-4=3x-10
より,yにx を代入
すればん(x) が求まる。
y=x+2 とすると,
x=y-2より,
f'(x)=x-2
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