不等式がす
つ条件 (絶対不等式)
日本 例題 109グラフ 22:10基本軍) (英国 125,
基本例題
p.159 基本事項6
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式 x2+(k+3)x-k> 0 が成り立つような
定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して,不等式 ax²-2√3x+a+2≦0が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
指針 2次式の定符号a≠0 D=62-4ac とする。 ·········
#kax²+bx+c>0⇒a>0, D<0 #kax²+bx+c≥0⇒a>0, D≤0
常に ax²+bx+c<0⇔a<0, D<0
常に ax2+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(1) x^2の係数は 1(正) であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」とあるから a=0(2次不等式で
ない)の場合とa=0 の場合に分ける。
演習 00000
a=0のとき, ax²-2√3x+a+2=0の判別式をDとす
ると、常に不等式が成り立つための必要十分条件は
a<0 かつD/4=(-√3)a(a+2)≦0は
a < 0 かつ a2+2a-3≧0
(a+3)(a-1)≧0
BIKEOL
すなわち
a²+2a-3≧0から
よって
1≦a
≦-3,
a<0 との共通範囲を求めて
a≤-3
8>
解答
の係数が1で正であるから、常に不等式が成り立 | 「すべての実数x」または「任意の実
つための必要十分条件は,係数について
(k+3)²−4•1•(−k)<0
よって (+9)(k+1)<0
ゆえに k² +10k +9 < 0
ゆえに-9<k <-1
数x」 に対して不等式が成り立つと
は、その不等式の解が,すべての実
数であるということ
(2)a=0のとき,不等式は-2√3x+2≦0 となり,例え
ばx=0のとき成り立たない。
+
[a>0, D<0]
X
0<0+
x
[ a < 0, D<0]
19 =
(1) の D<0は,下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
20> (1)
-2√3x+2≦0の解はx≧
²7/3²
√√3
CIAN
またはx
グラフがx軸に接する.
軸より下側にある条件と同じであ
D
4
るから.
<0
<0ではなく10と
4
する。
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2章
13
2次不
