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第14章 ベクトル
重要 例題 63 空間図形と内積
1辺の長さが2である正四面体 OABC の辺BCを12に内分する点をDとし
辺OA上の点をPとする。 また, OA=a, OB=b, OC=c, OP =ka (kは美
数) と表す。 このとき,OD=
ア
イ
ウ
7 b+ 1 c.
ある。また, DP=カーキ k+
I
C,
a+b=b+c=c·a=xc
ワケ
ロ
であるから, 線分 DP の長さ
[シス
はOPPA=サ:1のとき最小値
をとる。
POINT! 空間ベクトル ベクトルを3つのベクトルで表す。
2OB+1・OC
OD=20+1.0C-726+213 05
解答 )=
tab=b.c=ca
30
a
A
1
|=|a|||cos60°=2・2・
=オ2
2
DP=OP-OD=ka-(6+1)
10
NOB+mOC
m+n
D
lallb\cose
B
◆CHART 始点を (0)
=ka-
26-
1→
C
3
3
2
よって|DP=ka
3
3
9
2
2k · ² ² a ⋅ b + 2 · ² ² · 1/1 b · c −→ 2 · — — kc a
-2k・
3
49
・
=カ4k2-≠4k+
.
33
·k•2+ .2- -k-2
3
=4k- +
19
そろえて、3つのベクト
です
←ka-
ように計算する。 国
[参考]
DPが最小DPLd
DP-a = klaf-a-b
=4k-2=0よりk=
4
=k2.22+
• 2².
クケ28
2
> CHART まず平方完
19
2
0≦k≦1であるから|DPはk=-
19
のとき最小値
◆点Pは辺 OA
2
9
上にあるから」
すなわち, 線分 DP の長さは OP:PA=1:1のとき最小値
0≤k≤1
199
「シス19
をとる。
セ3
AT