彩香さんと響稀さんが、次の問題について考えている。
を正しく埋めよ。 は選択肢から選び、番号で答えよ。
「7
問題 次のように、正の奇数を小さい方から、n段目に
れ個の数字が並ぶように、三角形の形に並べていく。
1:
3
7
; 13 15 17 19
| 21
1段目
5
2段目
9
11
3段目
4段目
8
23 25 27 29
5段目
{a,
n
(1) n段目の最初の奇数はいくつか。
(2) n段目に含まれる奇数の総和はいくらか。
彩香:まず、正の奇数を小さい方から並べた数列を (a)としたら、
(a}:1, 3, 5, 7,9, '11, 13, 15, 17, 19, 21,………
一般項は a, =
2n-1
……0 やんね。
響稀:だけん、(1) はn段目の最初の奇数が (a.)の第何項かが
わかったら求められるんちゃん。
彩香:それは (n-1)段目までにこR=|Ln-)n
(個)
の数字があるけん、第- (n-)nt!
項や。
|9
=-ntl
響稀:ということは、(1)の答えは
-ntl
かあ。
彩香:あっ、忘れとったけど、(n-1)段目って考えた時点で、
n22 のときにしか言えんけん、n=1を代入しても
成り立つかどうか、確かめないかんのちゃん?
響稀:彩香、すごおい。n=1 入れたら1になるけん、成り立つわ。
彩香:よっしゃー!(1) はできた。次は (2) やね。
響稀:(2) って、 結局は等差数列の和やけん、未項がわかれば
出るんちゃん。さっきと同じように考えたら、
n段目までに含まれる奇数の個数は、2ん==mn+1) (個)
k=1
やけん、n段目の最後の数は
やね。
彩香:n段目の項数は nやけん、等差数列の和の公式に入れて.
計算したら……
になったわあ。
響稀:こんな簡単な形になるんやね。 ホンマや、 5段目まで合っとる!
あれっ、確か奇数の和って この=
になるんやった
よね。ということは、 n段目までに (n+1) 個の奇数が
含まれとるけん、1段目から n段目までの奇数を全部足したら、
になるってことやんね。
だから、公式
が成り立つんかあ。
彩香:響稀、すごおい。 公式の証明までできたやん。
ロ
