整数の問題なのですが-2,-p^2の組み合わせは存在しないのでしょうか...？理由を教えて頂きたいです。

数学 A415 EX 設 @100 2 x,yを正の整数とする。 (1) 2 +1 xy 1 2024 4 を満たす組 (x, y) をすべて求めよ。 4/7 (2)3以上の素数とする。 (1) + x (x, y) を求めよ。 x 2+2 y Þ を満たす組 (x, y) のうち, x+y を最小にする [類 名古屋大 ] 1 1 から y 4 8y+4x=xy ゆえに よって xy-4x-8y=0 (x-8)(y-4)=32 ① xyは正の整数であるから, x-8, y-4 は整数である。 また,x≧1, y≧1であるから ゆえに、 ①から x-8≧-7, y-4≧-3 よって (x-8, y-4)=(1, 32), (2, 16), (4, 8), (8, 4), (16, 2), (32, 1) 2 1 1 (2) + x y p から 2py+px=xy ゆえに (x, y)=(9, 36), (10, 20), (12, 12), (16, 8), (24, 6), (40, 5) ←両辺に 4xy を掛ける。 ←xy+ax+by for =(x+b)(y+α) -ab (D) ←x>0, y>0 としても よい。 ←練習143の検討のよう な表をかいてもよい。 ←両辺に pxy を掛ける。 xy-px-2py=0 よって (x-2p)(y-p)=2p² ① x, y は正の整数, pは素数であるから,x-2py は整数で ある。また,x≧1, y≧1であるから x-2p≧1-2py-p-p ...... (2) 3以上の素数であるから, 22 の正の約数は 1, 2, p, 2p, p², 2p² ←素数の正の約数は とだけである。 ゆえに、 ①,②を満たす整数x-2p, y-pの組と,そのときのレー x, y, x+yの値は,次の表のようになる。 x-2p 1 2 p2p p² 2p² 書き出 2p2 p² 2p p 2 1 地道 XC 2p+1 2p+2 3p 4p p²+2p 2p²+2p 計算 y 2p²+p p²+p 3p 2p p+2 p+1 2p²+3p+1 x+y 2p2+3p+1 p²+3p+2 6p 6p p²+3p+2 ここで, p≧3であるからしぼりこみ よって (2p+3p+1)-(p²+3p+2)= p²-1>0 (p²+3p+2)-6p=p²−3p+2=(p−1)(p-2)>0 2p°+3p+1>p+3p+2>6p (x, y)=(3p, 3p), (4p, 2p) 表より, x+y=pのとき すなわち, x+yを最小にする (x, y) は (x, y)=(3p, 3p), (4p, 2p) y-pがともに負となることはない。 とすると ← に適当な値を代 て,大小の目安をつ とよい。 例えば,p= 代入すると |2p2+3p+1=28, p2+3p+2=20,6 よって, 2p2+3p+ >p²+3p+2>6p ではないかと予想 3から

解答より場合分けしてる数が少なかったのですが、これでも合ってますか？それとも減点になりますか？

[城西大 ③99 求めよ。 g(x)は1次関数であるから,g(x)=px+α(p=0) とする。 練習 3 次関数f(x)=x+bx+c に対し, g(f(x))=f(g(x)) を満たすような1次関数 g(x) をすべて g(f(x))=pf(x)+q=p(x+bx+c)+q =px3+bpx+cp+g HINT 1次関数g(x) を lg(x)=px+g(カキ0) と 1-1-0-0-|LT, g(f(x))=f(g(x)) f(g(x))={g(x)}+bg(x)+c=(x+g)+b(px+g)+c =px+3pqx2+(3pg'+bp)x+q+bg+c g(f(x))=f(g(x)) を満たすための条件は がxについての恒等式と なるように p,g の値を 定める。 ←すべてのxについて x+bpx+cp+q=px+3px+(3bg+bp)x+q+by+c 成り立つ→xの恒等式。 がxについての恒等式となることである。 両辺の係数を比較して カーが ①, 0=3p2g ②, ←係数比較法。 bp=3pg2+bp ③, cp+q=q°+bg+c ④ p0 であるから,②より g=0 このとき,③は常に成り立つ。 q=0 を④に代入して cp=c ←bp=bp となる。 80 すなわち cp-1)=0... ⑤ ここで,p=0 と ①から p²=1 ゆえに p=±1 =1のとき⑤ は常に成り立つが,=-1のとき c=0 よって c≠0のとき ←⑤は,p=1のとき c.0=0 1, =1のとき -2c=0 c=0のとき =±1 したがって c≠0のとき g(x)=x c=0 のとき g(x)=x または g(x)=-x 練習の関数f(x)==ax+1(0<a<1) に対し、f(x)=f(x) f(x)=f(f(x)) f(x)=f(f(x))・・・・・・

黄色く線を引いているところが分かりません。何故そうなるのですか？？

Q問題を15等分する15個の点のうち連続する10個の点A~J 22.5° 2-0000A BA HBA C D PX (千葉県立船橋高) E を選び, AF, CとJをそれぞれ結び AF と CJ の交点をPとする。 このとき, ∠APJの大きさを求めなさい。 A AB=a とおく。 ∠APJ= ∠CAF+∠ACJ ここで∠CAFは CF に対する円周角なので 3a 15a _∠CAF=180× =180x36 ∠ACJ AJ に対する円周角なので ZACJ=180x- 15a-9a 15a 6a =180x- = 15a =180x- 80x=72 よって, ∠APJ=36+72=108 HI BA ADA P E 90 A F HI 108 A CRO

数2の質問です！ (２)の問題では p(1/2)=0 なんですが p(x)=0 のxに分数が入る 規則的なものはありますか？？ また見つけやすい方法を教えてほしいです！！ よろしくおねがいします！🙇🏻‍♀️՞

94 基本 例題 56 高次式の因数分解 00000 次の式を因数分解せよ。 (1)x+4.x²+x-6 (2) 2x9x2+2 p.87 基本事項 2. 3. 基本5g CHART & SOLUTION 高次式P(x)の因数分解 ① P(k=0 となるkを見つけてP(x)=(x-k)Q(x) ② 更に、Q(x) を因数分解 P(k) = 0 となるようなkの候補は 定数項の約数 最高次の項の係数の約数 で割ったときの余りがきであるから=1+x P(1)=13+4・12+1-6=0 (21 (詳しくは、下の INFORMATION を参照)+ Q(x)を求めるには、P(x)を一人で割り算してもよいが、1次式による割り算であるから 組立除法 (p.87, 88 解答 (1) P(x)=x3+4x2+x-6 とすると MAR =(1+x)組立除法 141 -6 1 よって、P(x) は x-1 を因数にもつから であるから 15 6 (2) P(x)=2x-9x2+2 とすると(3)=1] ...... 2 -9. +2=0 2 3 よって(x)x1/23 因数にもつから P(x)=(x−1)(x2+5x+6)=(x−1)(x+2)(x+3) | 15 6 P(x)=(x-2) (2x-8x-4)=(2x-1)(x²-4x-2) INFORMATION P(k) = 0 となるの見つけ方 組立除法 0 2-9 0 2 1-4-2 2 2 -8-4 0 ◆有理数の範囲では、こ 以上因数分解できな P(x)=ax2+bx+cx+d に対し,P(7)=0とすると,P(x)はx-gで割り切れ 商をlx2+mx+n とすると, 次の等式が成り立つ。 ax+bx+cx+d=(px-g)(lx²+mx+n) (係数はすべて整数) x の項の係数と定数項を比較してa=d=- よって,かはP(x)の最高次の項の係数 αの約数出 である。 g は P(x) の定数項dの約数 [+ 定数項の約数 すなわち,P(k) = 0 となるkの候補は 最高次の項の係数の約数 DRACTICE 562 次の式を因数分解せよ。 (1) x-4x2+x+6 (x+2) (2)2x35x²+5x+4

青い下線部の方程式にもっていく過程が分かりません。 どうして①、②から方程式にするのでしょうか？？ また、青丸の部分がどうしてマイナスになるのですか？

本 例題 10 寺数 をなす3数 (等比中項) 数列 a, b, c が等比数列であるとき, a, b c の値を求めよ。 3つの実数a, b, c に対して,a+b+c=39,abc=1000 とする。 CHART & SOLUTION 等比数列 a, b,cの扱い (a, b, cは0ではない 1 公比をrとして 2 b=ac を利用 a,b=ar,c=ar2 00000 p.365 基本事項 2 この例題では②の方針 (等比中項の性質の利用) の方がスムーズ。 1の方針の解答は を参照。 3 a+b+c=39 ①, abc=1000 数列 a, b, c が等比数列であるから ② ③から6=1000 は実数であるから6=10 このとき,①から a+c=29 また,②から ac=100 ②とする。 ②の方針 bac ③ ③は等比中項の性質。 を利用。 よって,a,cは方程式 x29x+100=0の2つの解である。 -29x+100=0 を解いて x=4,25 ゆえに(a,c)=(4, 25), (254) よって≠n (a, b, c) = (4,10, 25), (25,104) 別解 abc0 から公比r=0であり,b=ar,c=ar2 とする と 前ページの 63-103=0 から (6-10)(62+106+100 ) =0 としてもよい。 (x-4)(x-25)=0 ①の方針 a+ar+ar2=39 ④ aar ・ar2=1000 ⑤ ④から a(1+r+r2)=39 ⑥ ⑤から ar3=1000 ar (=b) は実数であるから ar=10 ⑦ (ar) -10°=0 から ⑥の両辺にを掛けると ar(1+r+r2)=39r 10r2-29r+10=0 ⑦を代入して整理すると (2r-5)(5r-2)=0 ISI SAS 2 って 12のときa=4 r= 5 52 25 ゆえに r= 2'5 a=25 (a, b, c)=(4, 10, 25), (25, 10, 4) (ar-10)(a^2+10ar+10 =0 よって ar=10, ar2+10ar+100=0 ここでAを満たす実 ar は存在しない。

青い所の移り変わりがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

f(x)=x^-x+px-gx +4 がx-1, x-2でわりきれるとき, 次の問いに答えよ. (1) p, g の値を求めよ. (2) f(x)=0 の1,2以外の残りの解を求めよ. 青講 「x-1でわりきれる」 とは 「x-1でわった余りが0」 と考えられ るので,剰余の定理で余りを0とおいて得られる定理, 「因数定理」 が使えます. 解答 (1) f(x)=x^-x3+px²-gx +4 は, x-1, x-2でわりきれるので,f(1)=f(2)=0 因数定理 .. p-g+4=0 12p-g+6=0 p= -2 よって, Aq=2 (2) (1)より,f(x)=x-x-2.x²-2x+4 G=(x²-3x+2)(x²+2x+2) =(x-1)(x-2)(x2+2x+2) (x-1)(x-2), すな わちx2-3x+2 で よって、残りの解はx'+2x+2=0 の解. わりきれる ∴x=-1±i

(2)のよって、の後の計算がなかなか合わないです。 途中式込で教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

が,密度P の水中にその下側 1/3 の高さだ け水に入った状態で浮かんでいる。 チェック問題 3 水圧と浮力 x 右図のように、底面積Sで高さんの箱 h 標準 S h 箱 . 6 分 体 (X) この箱の質量m をP*, h, Sで表せ。 (2) ここで,この箱の下に質量 M, 体積V のおもりを軽い細いひもでつり下げると き箱がさらに沈む距離 x を M, V, P水, S P* 3 で表せ。ただし,箱はすべて沈んでしまわないものとする。 解説 (1)に着目して力を書き込む。 図 aでアルキメデスの原理より、箱は水を体 積Sだけ押しのけているので、浮力の大 Sh h きさは、PgSxgとなる。重力と浮力の 力のつり合いの式より, h mg=PxSg... m=phs h JP⭑Sg 3 mg 図 a (2) 箱とおもり全体に着目して力を書き込む。 図bでアルキメデスの原理より,箱とおも 浮力 P* ( 1½/1 + x) S g 3 -xsg りを合わせて体積 ( 2 + x S + Vだけ水を xs+ 押しのけているので、浮力の合計は, h mg P水 Px{(½ +x) S + V}g となる。 浮力 PVg 箱とおもり全体に着目した力のつり合い Mg の式より, mg + Mg = P x { (1/1 + x) S + V }g 3 M V 図 b h 全体に着目しているので, よって,x= P⭑S S (①式を代入した)……・・・答 糸の張力は考えなくてよい

マーカーの部分で、なぜaが±2のときと±2ではないときで場合分けをしてるんですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️ a=±2のとき、接線がx=±2とy=±1とわかるのはなぜですか？

117 重要 例題 66 直交する2接線の交点の軌跡 重要例題 00000 楕円x2+4y=4について、 楕円の外部の点P(a, b)から、この楕円に引いた2 本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。 [類 お茶の水大] 基本63 指針 胴 点Pを通る直線y=m(x-a)+6が、楕円x2+4y=4に接するための条件は、 D=0 が成り立つことである。 x2+4{m(x-a)+b}2=4の判別式Dについて, また,D=0の解が接線の傾きを与えるから, 直交⇔傾きの1 と 解と係数の関 係を利用する。 なお、接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。 [参考] 次ページでは、楕円の補助円を利用する解法も紹介している。 円 CHART 直交する接線 D=0, (傾きの積)=-1の活用 解答 [1] αキ±2 のとき, 点Pを通る接線の方程式は y=m(x-a)+6 とおける。 これを楕円の方程式に代入して整理すると 本 YA 5 P(a, b) 10 1 √√5 2 x (4m²+1)x2+8m(b-ma)x+4(b-ma)2-4=0 このxの2次方程式の判別式をDとすると D=0 D 20 √5 ここで =16m² (b-ma)-(4m²+1){4(b-ma)2-4} 4 V5 x2+4y2=4 とすると =-4(b-ma)2+4(4m²+1) 1 =4{(4-a2)m²+2abm-b2+1} ゆえに (4-α²)m²+2abm-62+1=0 ① (*) (6-ma) のまま扱うと, 計算がしやすい。 mの2次方程式 ①の2つの解を α β とすると αβ=-1 直交⇔傾きの積が1 ! -62+1 すなわち =-1 4-a² 0=1+ よって a2+b2=5, a≠±2 [2] α=±2のとき, 直交する2本の接線はx=±2,y=±1 (複号任意) の組で, その交点の座標は (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, −1) これらの点は円x2+y2=5上にある。 [1], [2] から, 求める軌跡は 円x2+y2=5 ( 解と係数の関係 ■2次方程式 px2+qx+r=0 について, r - - 1 が成り立つとき, 判別式 |大92-4pr=q'+4p>0 となり、異なる2つの実数 解をもつ。

(3)の所でyが0になるのはわかるのですが何故青線の所が無くなっているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

89 共通接線 2つの曲線 C: y=x', D:y=x2 + px+g がある. (1) C上の点P (a, α) における接線を求めよ. (2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線はと一致する. こ のとき,pg をαで表せ. (3) (2) のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ. 精講 (2) 2つの曲線 C, Dが共通の接線をもっているということです が,共通接線には次の2つの形があります. (I型) (Ⅱ型) y=f(x) y=g(x) y=f(x) y=g(x) アイは一致するので, 3a²=2a+p, -2a=q-a よって, p=3x²-2α,g=-2a3+α² (3) Dy=x+ +2 +q-2 だから, 曲線 Dがx軸に接するとき, 頂点の座標は 0 ∴. 4g-p=0 <x²+px+g=0 の 9-2²=0 4 よって, 4(-2α²+α²) (3a²-2α)²=0 4a(−2a+1)-α(3a-2)²=0 a^{-8a+4-(9α²-12a+4)}=0 a³(9a-4)=0 判別式=0 でもよい 展開しないで共通因 数でくくる 4 .. a=0, 注 α=0 が答の1つになること は,図をかけばx軸が共通接線 であることから予想がつきます. D (二次関数)がx軸に接するというのは 頂点のy座標が0になる or Dの判別式が0となる。 0 x (2)はポイントを使うと次のようになります. 違いは, 接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP で一致しているので(I型) になります. どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります. 解答 (1) y=xより, y'=3x2 だから, P(α, α3) における接線は, y-a=3a(x-α) :.l:y=3ax-2a ...... ア (2)PはD上にあるので, a'+pa+q=a° ...... ① また,y=x'+px+g より y'=2x+p だから, Pにおける接線は, y-a= (2a+p)(x-a) :.l:y=(2a+p)x+a-2a-pa 85 f(x)=x, g(x)=x2+px+q とおくと f'(x)=3x', g'(x)=2x+p [a=a+pa+g . 3a²=2a+p [p=3a2-2a よって, g= -2a3+α² ポイント 2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) 共有し, その点における接線が一致する -f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t) 点 (t, f(t)) を y=(2a+p)x+q-a° ...... ① (∵: ①より) 演習問題 89 関数f(x)=x2+2 と g(x)=-x+ar のグラフが点Pを共有 し, 点Pにおける接線が一致する. このとき,αの値とPの座標を 求め上

X,Yはそのままx,yに置き換えていいんですか？教えてください🙇🏻

指針 x+y=X, xy= Y とおいて,X,Yの関係式を導けばよい。 ①条件式x2+y2≦1 を X,Yで表す。 →x2+y=(x+y)^2xy を使うと しかし、これだけでは誤り! X2-2Y≦1 ② x, yが実数として保証されるようなX,Yの条件を求める。 →xyは2次方程式(x+y)t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0の2つ あるから、その実数条件として 判別式 D=X2-4Y≧0 実数条件に注意 X=x+y, Y=xy とおく。 解答 x+y'≦1から したがって Y≥ X2 1 2 2 (x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≤ 1 ① 大 まる 喚を また,x,yは2次方程式2-(x+y) t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす ると ここで D≧0 D=(-X)2-4・1・Y=X2-4Ytay よって、X2-4Y≧0から! よって, X2-4Y≧0 から 12a, B13 p=a+B, g とすると, 解とする 式の1つは x²-px+ Y≤ ・X2... 4 ② ①,②から X21 X2 Y≤ 2 2 4 y=22 AST 日本 4 変数を x, y におき換えて x21 2 Sy≤ 2 x2 したがって、求める領域は,右の図の 斜線部分。 ただし、 境界線を含む。 実数条件(上の指針の2)が必要な理由 (税抜) 0. 12 1= 12 12 るとx=±√ 1_1i のとき x+y=1 x+y=X, xy=Yが実数であったとしても,それが x2+y'≦1 を満たす虚数x, yに対応 X,Yの値と