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基本 例題 80
2点間の距離
00000
3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ
(1) 2点A,B から等距離にある虚軸上の点P
(2)3点A,B,Cから等距離にある点 Q
CHART & SOLUTION
複素数平面上の2点A(α), B(β) 間の距離
AB=|β-α|
|β-a|=|p+gil=√2+q2
β-a=p+gi (p, gは実数) のとき
(1) 虚軸上の点をP(ki) (k は実数) とおき
AP=BP
(2) Q(a+bi) (a, b は実数) とおき
AQ=BQ=CQ
解答
(1) P(ki) (k は実数) とすると
AP2=|ki-(5+4i)=(-5)+(k-4)i
=(-5)²+(k−4)²=k²-8k+41
BP2=|ki-(3-2i)|=|(-3)+(k+2)i
=(-3)2+(k+2)=k'+4k+13
p.141 基本事項
「kは実数」の断りは
AP≧0, BP≧0 のとき
基本 例題 81
||=1 かつ |
(1) zz
CHART & S
複素数の絶対値
(1)zz= |2|2
(3)(1),(2)の結
別解
解答
z=a+
(1)zz=z2
(2)|z+il=√
よって
すなわち
展開すると
zz=1を代
ya
• A
P
0
X
AP = BP より AP2=BP2 であるから
k2-8k+41=k2+4k+13
なんでできえるの?
・B
これを解いて k=
7
したがって、点Pを表す複素数は
i
3
実
(2) Q(a+bi)(a, b は実数) とすると
AQ2=l(a+bi)-(5+4i)|= l(a-5)+(6-4)i
「a, b は実数」の断りは
重要。
(2)
両辺に
=(a-5)2+(6-4) 2
YA
73
AP=BPAP'=B
よって
(3) z=0 で
BQ²=l(a+bi)-(3-2)=(a-3)+(6+2)i
=(a-3)2+(b+2 ) 2
CQ=l(a+bi)-(1+2i)|= l(a-1)+(b-2)i
=(a−1)²+(6-2)²
AQ=BQ より AQ'=BQ2 であるから
整理すると
(a-5)2+(6-4)2=(a-3)2+(6+2)
a+36=7
BQ=CQ より BQ=CQ2 であるから
(a-3)2+(b+2)2=(a-1)2+(6-2)2
整理すると
a-26=2
......
②
①,②を解くと a=4,b=1
したがって,点Q を表す複素数は
4+i
PRACTICE 802
Q
0
B
ABC は∠Cが直
inf.
の直角二等辺三角形で
あるので、求める点は
ABの中点である。
3点A(-2-2i), B(5-3ź), C(2+6ź) について,次の点を表す複素数を求めよ。
(1) 2点A, B から等距離にある虚軸上の点P
(2)3点A,B,Cから等距離にある点 Q
よって
ゆえに
したがっ
別解 2=C
z=a-b
(2)より,
また
b=
したがっ
PRACTI
||=5カ
(1) zz
