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190 解答編
50 2012年度 文系〔1〕・理系〔1〕
座標平面上に2点A (1, 0), B(1, 0) と直線があり, Aとの距離とBとの
距離の和が1であるという。 以下の問に答えよ。
(1) Zy軸と平行でないことを示せ。
(2)が線分AB と交わるときの傾きを求めよ。
(3)が線分AB と交わらないとき,と原点との距離を求めよ。
Level C
2/m =1
21ml=√m²+1
m2+1
両辺0以上なので平方して
1
4m²=m²+1
m² =
3
1
m = ±
√3
(2) (3) 直線をy=mx+nとおき, 点と直線の距離の公式を用いて, A. Bからの距離
ポイント (1) 直線をx=kとおき, A, Bからの距離の和を場合に分けて計算する。
の和を求める。 線分AB と交わる, 交わらないという条件から, 絶対値を1つにまとめ
ることができる。 図形的に求めると 〔解法2] のようになる。
解法 1
ゆえに、1の傾きは
(3)(2)と同様に
dA+dB=-
|m+n|+|-m+n|
√m²+1
直線が線分AB と交わらないことから
f(1)f(-1)>0
20-TO
(m+n)(-m+n)>0
したがって、m+nとm+nは同符号なので
|m+n|+|-m+n|=|(m+n)+(-m+n) | = 2|n |
2|n|
よって d₁+dB=-
√m2+1
(1) Aとの距離, Bとの距離をそれぞれda, dB とおく。
の方程式をx=k (kは実数) とすると
d+dB=1より
=2
(-1≤k<1)
よって dA+dB=
√m2+1
d+dB=1より
dx+ds=|k-1|+|k-(-1)|=|k-1|+|k+1|
-2k (k<-1)
2k (k≧1)
いずれの場合もd + dB≧2 であるので, d+dB= 1 となることはない。
すなわち、y軸と平行でない。
(2)1の方程式を y=mx+n (m,nは実数) とおくと,mx-y+n=0より
|m+n||-m+n| |m+n|+|-m+n|
dд+dB=
+
==
√m2+1
√m²+1
/m²+1
ここで, f(x) =mx+nとおくと, 直線が線分AB と交わることから
(m+n)(-m+n) ≤0
f(1)f(-1)≦0
(m+n)(m-n)≧0
したがって, m+nとm-nは同符号または一方が0なので
|m+n|+|-m+n|=|m+n|+|m-n|=|(m+n)+(m-n) | =2|m|
2|m|
(2) A,Bからに下ろした垂線の足をそれぞれP,
Q とすると,条件より AP +BQ = 1
Bを通りと平行な直線を / 直線APとの交点
をRとすれば, △ABR について
AB=2, AR = AP+PR = AP +BQ= 1,
∠ARB=90°
したがって
∠ABR=30°
ゆえに、この傾き、すなわちの傾きは
･･･()
2|n
n
1
=1
√m²+1
√m²+1
2
│n│
ゆえに,Iと原点との距離は
1
......(答)
√m²+1 2
解法 2
(証明終)
B
54 図形と方程式 191
R
A
