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基本例題 62 x+x+1で割ったときの余り
f(x)=x80-3x40+7 とする。
の1次会
(1) 方程式x2+x+1=0の解の1つをω とするとき, f (w) の値をの
表せ。
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。
基本 53.61. 重要 55
指針f(x) は次数が高いので、値を代入した式を計算したり、割り算を実行したりするのは
い。 ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める
高次式の値条件式を用いて次数を下げる
① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用。 B = 0 を考える
解答
(1) は x2+x+1=0の解であるから w²+w+1=0
w²=-w-1, w²+w=-1
よって
ゆえに wwww(-w-1)=-(ω'+ω)=-(-1)=1 (*)
また, 80=3・26+2, 40 = 3・13+1であるから
[証明]
(1)
は x2+x+1=0の解であるから w²+ω+1=0
これを用いてまずの値を求め、その値を利用してf (w) の式の次数を下げる。
(2) 求める余りはαx + b と表され f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+6
これにx=ω を代入すると f(w)=aw+b
=126.(-ω-1)-3・11・ω+7=-4ω+6
(2) f(x) x2+x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b
(α, b は実数) とすると
練習
f(w)=w80-3w40 +7=(w³) ²⁰ w²-3(w³) ¹³.w+7
ω'+ω+1=0であるから
(1) から
-4w+6=aw+b
a b は実数は虚数であるから a=-4,6=6
したがって 求める余りは -4x+6
62
f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+b
f(w)=aw+b
a b c d が実数, zが虚数のとき
① a+bz=0 ⇔ α = 0 かつ b = 0
② a+bz=c+dz⇔a=c かつ b=d
Q(x) は商
[①の証明] (←) 明らかに成り立つ。
b=0 と仮定するとz=--
(*) @³-1
daty =(w-1)(w²+w+1)=0
から=1としてもよい。
は1の虚数の3乗根であ
が成り立つ。
2018をx2+x+1 で割ったときの余りを求めよ。
)
る。
→(1)
→ (2)
次数を下げて1次式に。
8854A=BQ+R
よって
b=0
a=0
このとき
② の証明は, (a-c)+(b-d) z=0 として上と同様に考えればよい。
なお, 上の ① ② は, p.62 の ② を一般の場合に拡張したものにあたる。
割式B=0 を活用。
左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。
下の参考② を利用。
I
指
し
d
た
