自治医科大学 2次試験 数学 2021について質問です。 ⑶と⑷の記述の書き方について以下の画像のように記述しました。記述のモレや減点ポイントがないか確認していただきたいですm(_ _)m(答えは全てあっております) また3枚目に添付したのは赤本の解答なんですけど、「減... 続きを読む

128 2021年度 数学 lim cm について考える。 8118 |数学| (30分) 数列{cm} (cm は正の実数値をとる) は, 不等式I: cm² - 14cm² + (49- C 0 を満たすものとする。 1 n+3 以下の設問に答えよ。 = 関数f(x) = x3 14x2 + 49x, 関数gn (x)= ただし, は実数, nは自然数とする。 1 n+3 2) 方程式f(x-gn (x)=0は,x=0以外に 異なる2つの実数解をもつことを証明せよ。 - 自治医科大(医) - 2次 1) 関数y=f(x) の第1次導関数をもとめ, 増減表を作成し, グラフの概形をかけ。 x とする。 x=0以外の2つの実数解をan, bn (an > b) とし, a b それぞれをnの式で表記せよ。 3) , b, それぞれを数列{an} および数列{bn} と考えることにする (nは自然数)。 a, b をもとめ, b+1 > b および an > an+1 となることを示せ。 lim cm が収束する場合, その極限値を求めよ。 210 4) a, b, C の大小関係について考察し, lim c が収束するかどうか判定せよ。 7118

lim (-1)^n n→∞ n の極限値(分母n分子(-1)^n)の解説で -1≦(-1)^n≦1と書かれていたのですが (解説ははさみうちの原理を用いた解法でした) 何故-1≦ ≦1なのか分かりませんでした お願いします

①どうして絶対値をつけて考えるのですか？普通のカッコではいけないのでしょうか？ ②│an-2│≦1/2│an-1 -2│≦……≦(1/2)*n-1│a1-2│ のところについて、1/2の指数を増やしていくのは何故ですか？ 教えてください！

Focus 「練習 (105) **** SAN liman=a n→∞ 118 a=1, an+1=√an+2 (n=1, 2, 3, ......) で定義される数列{an} について, lim an を求めよ。』 Check! 練習 Step Up 204 第3章 数列の極限 末問題 α=√α+2 ...... ① 数列{an} が極限値をもつとして, limano とすると読ん n10 liman=liman+1=α なので, 漸化式 an+1= van+2 より, n→∞ 両辺を2乗して liman+1=a n→∞ Wor これより, α=-1,2 α=-1 は ①を満たさないので, a=2 したがって, an+1-2 を考えると |an+1-2|=|√an+2-2| a²=a+2 a²-a-2=0 (a+1)(a-2)=0 α=1より, 12-1 zee, lim (1¹¹ ここで, 2 (an+2)-4| van+2+2 818 √an+2+2 *), lan-2|≤|an-1-2| =(1/2) lan 0≤|an-2|≤(1)" n→∞ an-2|≤|a₁-21 (*) n-1 17-2-21 (11) 41-2| =0 よって、 ②とはさみうちの原理より, lim|an-2|=0 となり lim an=2 818 1 818 p. 249 9 |liman+1=liman+2 7210 =√√a+2 α=-1のとき, ( ① の左辺) = -1 (①の右辺)=1 する 分子の有理化 THE van+2≧0より, van+2+2≧2 なので, 1 NOT an (*)をくり返し用いる. ||α-2|=|1-2|=|-1|=1

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について

この問題での[1]の必要性が分かりません ＊の部分で左側極限と右側極限が一致したと書いていますがxとx²の位置が入れ替わっていて明らかに同じ式では無いのに何故同じように扱っているのでしょうか

重要 例題 173 平均値の定理を利 x-0 ●基本 171,172 指針 f(x) = COS x と考えたとき, 分子は 差 f(x) f(x2)の形になっている。 よって、 ジの基本例題 172同様, 差f (b) f(a) には平均値の定理の利用 の方針で進める。 それには,平均値の定理により、 x-x を満たす 01 が存在する。 limx=0, limx2 = 0 であるから x-0 x→+0 平均値の定理を利用して, 極限値 lim- x→0 解答 f(x)=cosx とすると, f(x)はすべての実数x について微分可 能であり AFTOSS (D)) f'(x)=-sinx よって [1] x<0のとき x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定理を 用いると [+xgol=(x)\\ cosx2-COSx=-sin0,x<br<x2 す。 以上から an に表して極限値を求める。 なお, 平均値の定理を適用する区間はx→−0とx→+00 ときで異なるから注意が必要である。 lim x-0 COSxCOS2 x-x2 を満たす 02 が存在する。 limx2=0, limx=0であるから x→+0 COS x 2-COSx よって =lim(-sin01)=-sin0=0 x2-x [2] x>0のとき, x→+0 であるから, 0<x<1としてよい。 このとき, x2<xであるから,区間[x2,x] において, 平均 値の定理を用いると lim x→+0 = COS x -COS x 2 x-x2 lim x0 x-0 .2 COS x - COS x x-x² COS x -COS x2 x-x2 limO1=0 x-0 =-sinOz, x2<02<x を求めよ。 NET COS x - COS x 2 x-x2 lim02=0 x→+0 =0(*) =lim (-sin02)=-sin0=0 x→+0 IS Dgoln Czapoln 171 練習平均値の定理を利用して,次の極限値を求めよ。 4 1 173 ex-1 (1) limlog を微分係数の形Ufc 1 平均値の定理が適用でき 条件を述べている。 <x<0<x2 f(b) f(a) b-a a<c<b はさみうちの原理。 -=f'(c) x→+0であるから、 x=0の近くで考える。 f(b) f(a) b-a=f'(c) a<c<b はさみうちの原理。 1 理 か (*) 左側極限と右側極限が 0で一致したから、 極限値 は0 となる。

limの2つ目はどう考えれば良いですか？

sy noo art sinon 702 Ocon < III) On → to (n+∞) 41=2 live To Livre (1+h) * 従って TV non Singu Ou Live (non ) = 1 TE より①についてはさみうちの原理より!ベニ - TO

微分の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 第5章 微分法 148 81 微分法の不等式への応用 (1) <>0のとex> 1/2+x+1 が成りたつことを示せ。 (2) limx=0を示せ . (3) lim xlog.x=0 を示せ. +0 精講 (1) 微分法の不等式への応用は数学ⅡIB 96, 数学ⅡI・B 97 で学習 済みです。 考え方自体は何ら変わりはありません。 (2) 78,(3)は演習問題 79 にでています。 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) ⅡI. 間接的に与えてある (演習問題79) ⅢI.証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81) のいずれかの形態になっているのがフツウですが,たまに,そうでない出題も あります。 だから, この結果は知っておくにこしたことはありません. もちろん､証明 の手順もそうです. (1) や (2) 不等式の証明 (3) 極限という流れは 44,45で 学んだはさみうちの原理です. 解答 (1) f(x)=e³- (エ) (12/2+x+1) とおく. f'(x)=e*-(x+1), ƒ"(x)=e³-1 x>0のとき, ex>1 が成りたち, f"(x) >0 したがって,f'(x) は x>0 において単調増加. ここで,f'(0)=0 だから,x>0のときf(x) よって, f(r) は x>0 において単調増加. ここで, f(0)=0 だから, x>0 のとき、f(x)>0 ゆえに, x>0 のとき, e> ¹> {√x²+x+1 y=er上の点(0, 1) における接線を 参考 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=e²y=x+1 より上側にあります。だから, x>0 では >x+1, すなわち, f'(x) > 0 であることが わかります. (2) x>0 0²¾, (1)* _e²> {/x²+x+1> {/√ x ³² 0<x<²/2 …". 0<><>²+²x+2=0<<x+2+³ .. I lim (-tlogt)=lim += 0 t→+0 1-0 et また, lim (-tlogt)=lim (tlogt) t→+0 演習問題 81 lim -= 0 だから, はさみうちの原理より lim- 2 →∞ I 注解答では,+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように なります. t +0 ポイント く (3) (2)において, x=log / とおくと,t+0 のとき→∞ ‡t, e²= elox+= 1, x=-logt だから, t+0 limtlogt=0 すなわち, lim xlogx = 0) x→+0 lim -=0 I→∞ P (1) x>0 のとき (2) lim loga →∞ IC 2 log. X -= 0 を示せ . I -1 x>10gを示せ. 3/4 0 y=e* 149 y=x+1 lim -=0 lim xlog.x=0 I-00 x→+0 第5章

青の線の部分で何故絶対値がつくのかが分かりません良ければ教えてください

266 例題154 連続と微分可能性 次の関数はx=0で連続であるか。 また, x=0で微分可能であるか。 1 x2 sin 11/12 1 RE (x=0) x (x=0) [xsin x (x=0) 0 (x=0) (1) f(x)= 指針連続,微分可能の定義に従って考える。 f(x) がx=α で連続 ⇔ 答案 (1) x→0 ある。 x=αで微分可能 lim h0 微分可能なら連続であるから、まず微分可能性から調べる。 f(0+h)-f(0) f(h) 1 = sin h h h ん→0のとき､この極限は存在しないから, f(x) は x=0 で微分可能でない。 x=0のとき,0≦xsin limf(x)=limxsin =0 x→0 (2) g(x)= limf(x)=f(a) GA-M =lim x→0 x→a 11/12/≦lxl, limlxl=0であるから x→0 Ania 1 x→0 x limf(x)=0=f(0) が成り立つから, f(x)はx=0 で連続で f(x)=1x (1/2-xsin 0 f(a+h)-f(a) h xsin 1 ...... 21 習 154 関数f(x)=√|x| は, x=0で連続であるが A x=0 における微分係数は存在しないことを 示せ。 154 関数f(x) を B g(x)-g(0) g(x) 1 (2) g'(0)=lim =limxsin x→0 x x-0 x ① により,g'(0) = 0 が成り立つから,g(x)はx=0 で微分 可能である。 したがって,g(x)はx=0 で連続である。 が存在 証 ***** h→0のとき sin は振動する。 h はさみうちの原理。 (p.235 参照 ) 注意 (1) のように、連 続であっても、 微分可 能とは限らない。 RUSOCIO 100 y=√x

(3)ですが、漸化式として扱うと3枚目写真のようになってしまい、解答と異なってしまうのですが、どこから誤りでしょうか？

00000 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) 9 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ....･･) を満たすとき (1) 0<a<3を証明せよ。 (3) 数列{an}の極限値を求めよ。 はさみうちの原理 (2) 3-an+1<1/13 (3-an) を証明せよ。 [類 神戸大] p.174 基本事項 3 基本 105

数Ⅲの積分の単元です limの中身を積分したところまでは大丈夫なんですが、その後なぜf(x)を下線のようにおくのか分かりません… 教えてください🙏

次の極限値を求めよ。 (1) lim Ste-tdt X→∞ + ²² +2²