Question

︎︎

この問題での[1]の必要性が分かりません
＊の部分で左側極限と右側極限が一致したと書いていますがxとx²の位置が入れ替わっていて明らかに同じ式では無いのに何故同じように扱っているのでしょうか

重要 例題 173 平均値の定理を利
x-0
●基本 171,172
指針 f(x) = COS x と考えたとき, 分子は 差 f(x) f(x2)の形になっている。 よって、
ジの基本例題 172同様,
差f (b) f(a) には平均値の定理の利用
の方針で進める。 それには,平均値の定理により、
x-x
を満たす 01 が存在する。
limx=0, limx2 = 0 であるから
x-0
x→+0
平均値の定理を利用して, 極限値 lim-
x→0
解答
f(x)=cosx とすると, f(x)はすべての実数x について微分可
能であり
AFTOSS (D))
f'(x)=-sinx
よって
[1] x<0のとき
x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定理を
用いると
[+xgol=(x)\\
cosx2-COSx=-sin0,x<br<x2
す。
以上から
an
に表して極限値を求める。 なお, 平均値の定理を適用する区間はx→−0とx→+00
ときで異なるから注意が必要である。
lim
x-0
COSxCOS2
x-x2
を満たす 02 が存在する。
limx2=0, limx=0であるから
x→+0
COS x 2-COSx
よって
=lim(-sin01)=-sin0=0
x2-x
[2] x>0のとき, x→+0 であるから, 0<x<1としてよい。
このとき, x2<xであるから,区間[x2,x] において, 平均
値の定理を用いると
lim
x→+0
=
COS x -COS x 2
x-x2
lim
x0
x-0
.2
COS x - COS x
x-x²
COS x -COS x2
x-x2
limO1=0
x-0
=-sinOz, x2<02<x
を求めよ。
NET
COS x - COS x 2
x-x2
lim02=0
x→+0
=0(*)
=lim (-sin02)=-sin0=0
x→+0
IS Dgoln
Czapoln
171
練習平均値の定理を利用して,次の極限値を求めよ。
4 1 173
ex-1
(1) limlog
を微分係数の形Ufc
1
平均値の定理が適用でき
条件を述べている。
<x<0<x2
f(b) f(a)
b-a
a<c<b
はさみうちの原理。
-=f'(c)
x→+0であるから、
x=0の近くで考える。
f(b) f(a)
b-a=f'(c)
a<c<b
はさみうちの原理。
1
理
か
(*) 左側極限と右側極限が
0で一致したから、 極限値
は0 となる。

Answer 1

AZ

分子と分母に－1をかけましょう.