基本 例題 79
関数の最大・最小 (2) (端点なども検討)
00000
次の関数の最大値、最小値とそのときのxの値を求めよ。
2(x-1)
(1) y=x²-2x+2
〔東京女子医大〕(2) y=(x+1)√1-x2
〔類 長岡技科大〕
基本78
CHART & SOLUTION
最大・最小 増減表を利用 極値と端の値に注目
(1)x2-2x+2=(x-1)2+1>0 から, 定義域は実数全体 ( ∞ <x<∞)。
よって、端の値としては lim yにも注目。
解答
∞
(1) y' =
2(x²-2x+2)-2(x-1)(2x-2)
(x²-2x+2)2
2x(x-2)
分母は常に正。
(x²-2x+2)2
y'=0 とすると
x=0,2
<+2x(x-2)=0
の増減表は右のように
x
...
0
28
なる。
y'
-
0
+
0
また
lim y= 0, limy=0
極小
|極大
20
y
A
x
x2
>
-1
X11
よって, yは
1
←y=
から。
2 2
1-
+
x2
(1)
YA
-1≤x≤1
最大
12
x=2で最大値 1, x=0 で最小値-1 をとる。
(2)関数yの定義域は, 1-x2≧0 から
-1<x<1のとき
-2x
y'=1.√1-x2+(x+1)-
==
2x2+x-1
√√1-x2
1
2√1-x2
(x+1)(2x-1)
√1-x2
便
0
-1最小
y'= 0 とすると
x= 2
X
yの増減表は右のように
なる。
よって,y は
J
x.
-1
...
+
12
0
極大
y 20
3√3
73√3
x=
で最大値
4
4
x=±1 で最小値 0
をとる。
>
(2)
y
1
大
3√3 最大
0
最小
0
11
+12
2
最小
1 x
